Ist die Funktion an der Stelle x_{0} = 0 differenzierbar?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine abschnittweise definierte Funktion

           sin(x)/x     für x<0

f(x) =    1               für x=0

          (e^x - 1)/x    für x>0

Ist die Funktion an der stelle x0=0 differenzierbar ?

Problem/Ansatz:

… Diese abschnittweise definierte Funktion verwirrt mich.Wie kann ich differenzierbarkeit an der stelle x=0 prüfen,wenn F beschränkt ist(also x<0 und x>0)? Ich würde mich über Erklärung freuen

Comments

Willst du wirklich wissen, ob f in 0 differenzierbar ist

oder ob f dort stetig ist?

Answer 1

Es ist $$\lim_{h\to 0-}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0-}\frac{\frac{\sin(h)}{h}-1}{h}=\lim_{h\to 0-}\frac{\sin(h)-h}{h^2}\stackrel{\text{l'Hospital}}{=}\\\lim_{h\to 0-}\frac{\cos(h)-1}{2h}\stackrel{\text{l'Hospital}}{=}\lim_{h\to 0-}\frac{-\sin(h)}{2}=0.$$Verfahre entsprechend mit dem$$\lim_{h\to 0+}\; . . .$$In diesem Falle habe ich \(1/2\) heraus, d.h. die einseitigen

Limiten sind verschieden und damit existiert der Limes nicht,

also ist \(f\) nicht in 0 differenzierbar.

Answer 2

Du musst zeigen:

lim -x->0 f'(x) = f'(1) = lim +x->0 f'(x)

Sowohl bei der linken als auch bei der rechten Seite kannst du das mittels H-Methode zeigen.