Aufgabe:
Wie komme ich auf den folgenden Ausdruck?
Text erkannt:
\( \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}} \)
\(=\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\right)^{n+1} \)
\(=\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(\frac{n(n+1)+n}{n(n+1)+n+1}\right)^{n+1} \)
\(=\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(\frac{(n+1)^{2}-1}{(n+1)^{2}}\right)^{n+1} \)
\( =\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right)^{n+1} \)
Problem/Ansatz:
Guten Abend, liebe Mathelounge!
Ich überlege schon seit längerem, wie ich von Ausdruck 1 nach Ausdruck 2 komme. Von der Ursprungsform weiß ich, wie man auf Ausdruck 1 kommt, denn es ist mit dem Nenner hoch 1 erweitert und via Potenzgesetz zusammengefasst worden. Bei Ausdruck 2 nach Ausdruck 3 wurde das n ausmultipliziert und zu einer binomischen Formel umgeschrieben, wobei im Zähler ja noch das + 1 am Ende der Formel fehlt, weswegen dort eine - 1 steht. Der vierte Ausdruck entstand durch Aufspaltung des Nenners. So weit so gut, doch mir fehlt noch der Übergang von Ausdruck 1 zu Ausdruck 2. Ach ja, der Strich bei der ² im vierten Ausdruck im Nenner ist nur der Cursor, nicht verunsichern lassen : - )
Vielen Dank für eure Mühe!
