Auf wie viele Arten können die Hüte und Mäntel verteilt werden?

Question

Aufgabe:

Zehn Personen nehmen an einer Dinnerparty teil. Jede Person gibt bei der Ankunft ihren Hut und Mantel ab. Beim Verlassen erhält jede Person zufällig einen Hut und einen Mantel.

a) Auf wie viele Arten können die Hüte und Mäntel verteilt werden, so dass niemand seinen eigenen Hut oder seinen eigenen Mantel zurückbekommt?

b) Auf wie viele Arten können die Hüte und Mäntel verteilt werden, so dass niemand seine beiden Besitztümer zurückbekommt?

Problem/Ansatz:

… Wenn es nur um die Hüte ginge, dann würde man einfach 9! rechnen. Wie berechnet man es für Hüte und Mäntel?

Comments

Hast Du eine Begründung für die 9!?

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Wenn es nur um die Hüte ginge, dann würde man einfach 9! rechnen.

Meinst du damit, dass es bei n Personen (n-1)! Möglichkeiten gibt?

Das wäre falsch; denn bei n=4 gibt es 9 Möglichkeiten

für die "fixpunktfreie" Hutvertauschung.

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Sagen wir es gibt 2 Personen. Wie viele Möglichkeiten gibt es dann für eine Hutvertauschung?
1 = 1!

Jetzt sagen wir es gibt 3 Personen. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun für eine Hutvertauschung?
2 = 2!

Also komm ich auf folgende Regel: Bei n Personen gibt es (n-1)! mögliche Hutvertauschungen.

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Also komm ich auf folgende Regel:

Es handelt sich doch nur um eine Vermutung, die erst bewiesen werden müsste - Was aber nicht geht, weil diese Vermutung - allgemein - falsch ist.

Answer 1

Stichwort fixpunktfrie Permutation

https://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktfreie_Permutation

a)

Näherungsweise

(10!/e)^2 = 1.7821 Billionen Möglichkeiten

b)

Da habe ich momentan keinen wirklich guten Ansatz. Mit Rechnereinsatz geht das natürlich sehr einfach.

Comments

Näherungsweise

(10!/e)2 = 1.7821 Billionen Möglichkeiten

Für 4 Personen gilt also:

Näherungsweise (4!/e)^2 = 78 Möglichkeiten?

Ich erhalte aber nur 9:

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Weil du die Formel nicht verstehst. Warum hast du jetzt das Quadrat an der Formel dran. Das war doch nur, weil man Hüte und Mäntel hatte. Also bitte auch mal die Grundlagen auf dem Wikipedia Artikel lesen und nicht nur eine gepostete Formel anwenden ohne sie zu verstehen.

4!/e = 8.829 ≈ 9

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Da habe ich momentan keinen wirklich guten Ansatz. Mit Rechnereinsatz geht das natürlich sehr einfach.

Haben Sie nun eine Woche später einen Ansatz für diese Aufgabe?

Also bitte auch mal die Grundlagen auf dem Wikipedia Artikel lesen und nicht nur eine gepostete Formel anwenden ohne sie zu verstehen.

Fordert diejenige Person, die nur eine Formel von Wikipedia anwenden kann, ohne einen jeglichen Ansatz für Aufgabe b) zu haben... Also bitte. Vielleicht mal mit dem Finger an die eigene Nase fassen und das erstmal selber umsetzen, was Sie sich so sehr von den anderen wünschen!

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In der Tat habe ich inzwischen eine konkrete Idee, die mir bei Bearbeitung der Kisten-Bälle Aufgabe gekommen ist.

Es geht dabei um die partiellen Derangements die man bei Wikipedia auch findet

https://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktfreie_Permutation#Partielle_Derangements

Zumindest für 3 Personen scheint das zu funktionieren.

Answer 2

Die Anzahl fixpunktfreier Vertauschungen wird in dem Wikipedia-

Artikel

https://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktfreie_Permutation

gut beschrieben und hergeleitet.

Die dortige Tabelle gibt \(!10=1.334.961\)

Möglichkeiten an. Da die Vertauschungen der Hüte und die

der Mäntel unabhängig von einander sind, gibt es damit

\(1.334.961\cdot 1.334.961\) Möglichkeiten bei Frage (a).