Berechne die Hebearbeit und die minimale Anfangsgeschwindigkeit

Question

Um eine Raumsonde mit der Masse m von der Erdoberfläche aus in eine bestimmte
Höhe h (in m) zu befördern, muss Hebearbeit W (in J) der Form W(h)= G•M•m•(1/r₀-1/(r₀+h))verrichtet werden.
G~ 6,67•10^-11m³/(kg•s²_{) …}^.Newton'sche Gravitationskonstante
M = 5,97 •10²⁴ kg ... Masse der Erde
m .... Masse der Raumsonde in kg
r₀ ~ 6,37 •10⁶ m ... mittlerer Erdradius
1) Berechne die Hebearbeit in Joule, um eine Raumsonde mit der Masse m ~ 825,50 kg
aus dem Schwerefeld der Erde (ins Unendliche) zu bringen.
2) Berechne, welche minimale Anfangsgeschwindigkeit km/s in einen Körper aus dem Schwerefeld der Erde zu bringen.

Hinweis: Beschleunigungsarbeit W=(m•v²)/2

Answer 1

1)

W = G·M·m·(1/r0 - 1/(r0 + h))

für h --> ∞ ergibt sich

W = G·M·m·(1/r0)

W = (6.673·10^(-11) m^3/(kg·s^2))·(5.975·10^24 kg)·(825.5 kg)·(1/(6370·10^3 m)) = 51.67·10^9 J = 51.67 GJ

2)

Gefragt ist hier nach der 2. kosmischen Geschwindigkeit. Ansatz ist bereits gegeben

W = (m·v^2)/2 → v = √(2·W/m) = √(2·(G·M·m·(1/r0))/m) = √(2·G·M/r0) = ...