Zeigen Sie, dass es dann ein \xi \in[a, b] gibt, so dass

Question

Aufgabe:

Ein bekannter Satz der Analysis besagt das Folgende: Ist \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig, und auf \( (a, b) \) differenzierbar, und gilt \( f(a)=f(b) \) so gibt es ein \( \xi \in(a, b) \) mit
\( f^{\prime}(\xi)=0 . \)
1. Skizzieren Sie graphisch die Aussage dieses Satzes.
2. Es sei \( g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig, und auf \( (a, b) \) differenzierbar. Zeigen Sie, dass es dann ein \( \xi \in[a, b] \) gibt, so dass
\( g^{\prime}(\xi)=\frac{g(b)-g(a)}{b-a} . \)

Problem/Ansatz:

Hilfsfunktion:
\( f(x)=g(x)-\frac{g(b)-g(a)}{b-a}(x-a) . \)

Hoffe auf Hilfe. Vielen Dank

Answer 1

Zeige für die Hilfsfunktion

f(a) = g(a)   und   f(b) = g(a)

also f(a) = f(b).

Dann gibt es ein ξ mit f ' (ξ) = 0

Aber wegen \(f ' (x)=g ' (x)-\frac{g(b)-g(a)}{b-a} \cdot 1 \)

bedeutet das  \(f ' (ξ)=g ' (ξ)-\frac{g(b)-g(a)}{b-a} = 0  \)

also   \(   g ' (ξ) = \frac{g(b)-g(a)}{b-a}  \)