Summenzeichen: zerlegen in Differenz

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 01-3 Schreiben Sie die Summe
\( \sum \limits_{k=0}^{n}(-1)^{k} \)
zu einer Differenz von zwei positiven Summen um. Dann vereinfachen Sie.

Problem/Ansatz:

meine Ansatz:

k gerade -> +1

k ungerade -> -1

1-1+1-1+.....+-1 = +-1

Aber wie soll ich die Differenz von zwei Positiven Summen darstellen?

Answer 1

Hallo :-)

Du betrachtest ja eine Summe in dieser Form:

$$\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k=(-1)^0+(-1)^1+(-1)^2+(-1)^3+...+(-1)^{n-1}+(-1)^n$$

Hier dann mal einige Beispiele vorgerechnet:

$$\sum\limits_{k=0}^0 (-1)^k=(-1)^0=1$$

$$\sum\limits_{k=0}^1 (-1)^k=(-1)^0+(-1)^1=0$$

$$\sum\limits_{k=0}^2 (-1)^k=(-1)^0+(-1)^1+(-1)^2=1$$

$$\sum\limits_{k=0}^3 (-1)^k=(-1)^0+(-1)^1+(-1)^2+(-1)^3=0$$

$$\sum\limits_{k=0}^4 (-1)^k=(-1)^0+(-1)^1+(-1)^2+(-1)^3+(-1)^4=1$$

Durch scharfes Hinschauen lässt sich also folgendes schreiben:

$$\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k=(-1)^0+(-1)^1+(-1)^2+(-1)^3+...+(-1)^{n-1}+(-1)^n\\[20pt]=\left (\sum\limits_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \underbrace{(-1)^{2k}}_{=1}\right)+\left (\sum\limits_{k=0}^{\lceil \frac{n}{2} \rceil -1} \underbrace{(-1)^{2k+1}}_{=-1}\right)\\[20pt]=\left (\sum\limits_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} 1\right)-\left (\sum\limits_{k=0}^{\lceil \frac{n}{2} \rceil -1} 1 \right)=\begin{cases} 1,\text{   falls }n \text{ gerade}\\ 0,\text{   falls }n \text{ ungerade}\end{cases}$$

Für \(n\in \N\) gerade hat man nämlich \(n=2\cdot m\) für ein \(m\in \N\), sodass \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor=\lfloor \frac{2\cdot m}{2} \rfloor=\lfloor m \rfloor=m\) und \(\lceil \frac{n}{2} \rceil -1=\lceil \frac{2\cdot m}{2} \rceil -1=m-1\), sodass nur ein Summand, nämlich die \(1\) übrig bleibt.

Für \(n\in \N\) ungerade hat man nämlich \(n=2\cdot l+1\) für ein \(l\in \N\), sodass \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor=\lfloor \frac{2\cdot l+1}{2} \rfloor=\lfloor \frac{2\cdot l}{2}+\frac{1}{2} \rfloor=\lfloor l+\frac{1}{2} \rfloor=\lfloor l \rfloor=l\) und \(\lceil \frac{n}{2} \rceil -1=\lceil \frac{2\cdot l+1}{2} \rceil -1=\lceil \frac{2\cdot l}{2}+\frac{1}{2} \rceil -1=\lceil l+\frac{1}{2} \rceil -1=(l+1)-1=l\), sodass kein Summand übrig bleibt, also \(0\) als Ergebnis heraus kommt.

Answer 2

Aber wie soll ich die Differenz von zwei Positiven Summen darstellen?

Ziehe ein negatives Vorzeichen aus der Summe heraus.

∑ (x = 1 bis k) (-1) = - ∑ (x = 1 bis k) (1)

Comments

Aber wie soll ich die Differenz von zwei Positiven Summen darstellen?

Ich sehe nicht, dass die Summe (-1)+(-1)+(-1) ...positiv ist.

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Zieh das Minus aus der Summe, dann ist die Summe positiv

(-1) + (-1) + (-1) + ... = - (1 + 1 + 1 + ...)

Answer 3

Sei \(n\) gerade, also \(n=2m\). Dann ist$$\sum_{k=0}^n(-1)^k=\sum_{i=0}^m(-1)^{2i}+\sum_{i=0}^{m-1}(-1)^{2i+1}=\sum_{i=0}^m 1 - \sum_{i=0}^{m-1} 1=(m+1)-m=1.$$Verfahre analog mit ungeradem \(n\), also \(n=2m+1\)