Skalarprodukt Quadratintegrable Funtkion

Question

Aufgabe:

Beschreibt $$<f,g> = \int \limits_{}^{} \overline{f(x)^2}g(x)^2 dx $$ ein Skalarprodukt ? Ist das der Raum der quadratintegrablen Funktionen und somit ein Hilbertraum?

Answer 1

Ist denn \(\langle f_1+f_2, g\rangle = \langle f_1,g\rangle+\langle f_2,g\rangle\) ?

Oder \(\langle c\cdot f,f\rangle=c\cdot \langle f,f\rangle\)

für alle \(f, f_1, f_2, g\) und alle \(c\in \mathbb{C}\) ?

Wenn du den Verdacht hast, dass das nicht der Fall ist,

suche ein Gegenbeispiel.

Comments

Ja linearität und additivität passen, somit ist es ein Skalarprodukt hätte ich gesagt!

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Wie sind denn die Grenzen des Integrals ?

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Ich würde als Betrachtung 0 und 1 nehmen

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OK. Sei \(c=2, \; f=1\). Dann ist \(\langle 2f,f\rangle = 4\)

und \(2\cdot \langle f,f\rangle= 2\cdot 1=2\).