Zeige, dass f(x): = 1/2x+3 eine umkehrbar eindeutige Abbildung von Df nach Wf definiert.

Question

Zeigen Sie durch Bestimmung der umgekehrten Zuordnung, dass die folgenden Funktionen eine umkehrbar eindeutige Abbildung von D_f auf W_f definieren:

f(x)= 1/2x+3          mit  D_f=⟨x ε ℝ / -10≤ x ≤ 10⟩.

Welchen Definitionsbereich hat jeweils die Umkehrfunktion? Wie erkennt man die umkehrbar eindeutige Zuordnung am Graphen der Funktion?

Answer 1

Ich löse die Funktionsgleichung nach x auf:

f(x) = 1/2x + 3 = y

1/2x = y - 3

x = 2y - 6

Und vertausche jetzt x und y

y = 2x - 6

 

Welchen Definitionsbereich hat jeweils die Umkehrfunktion?

D = ⟨x ε ℝ / 1/2*(-10) + 3 ≤ x ≤ 1/2*(10) + 3⟩ = ⟨x ε ℝ / -2 ≤ x ≤ 8⟩.

 

Wie erkennt man die umkehrbar eindeutige Zuordnung am Graphen der Funktion?

Funktion und Umkehrfunktion sind Achsensymmetrisch bezüglich der 1. Hauptdiagonalen y = x

Ich zeichne mal die Graphen und die Diagonale um es zu verdeutlichen.

Comments

Muss man zu der Gleichung die nach x ausgelöst wurde nicht W_f bestimmen?

 

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Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist ja hier der Wertebereich der Originalfunktion, daher bestimmt ich den neuen Definitionsbereich über den Wertebereich der Originalfunktion.

Answer 2

Wenn du die Umkehrfunktion bestimmen kannst, ohne dass Konflikte mit mehrfachen Werten in Df oder Wf auftreten, ist der Beweis gelungen.

Hier:

f:  y = 1/2x+3         Da keine Klammern vorhanden sind, kann y = 1/2 x + 3 (oder ev. y = 1/(2x) + 3) gemeint sein.

Ich nehme mal die 1. Variante und löse nach x auf.

2y = x + 6

2y - 6 = x

Alle Umformungen waren Äquivalenzumformungen. Deshalb sind keine Schwierigkeiten bei der Umkehrung zu erwarten.

Die Gleichung für die Umkehrfunktion (x und y vertauschen!)

f^-1: y = 2x - 6.

Def.- und Wertebereich: Vergleich:

Gegeben D_f = [-10, 10] = W_f ^-1     = [2*(-2) - 6, 2*8 -6]

W_f = [1/2 (-10) + 3 , 1/2 (10) + 3] = [-2, 8]  = D_f ^-1                ok.