Beweis Summe Irrationalität

Question

Aufgabe:

Beweise, dass √5 + √7 irrational ist.

Answer 1

Annahme \( \sqrt{5}+\sqrt{7} \) ist rational.

\( \begin{array}{l} \sqrt{5}+\sqrt{7}=\frac{a}{b} \\ (\sqrt{5}+\sqrt{7})^{2}=\frac{a^{2}}{b^{2}} \\ 5+2 \sqrt{5} \sqrt{7}+7=\frac{a^{2}}{b^{2}} \\ 2 \sqrt{5} \sqrt{7}=\frac{a^{2}}{b^{2}}-12 \\ \sqrt{5} \sqrt{7}=\frac{a^{2}}{2 b^{2}}-6 \\ \sqrt{35}=\frac{a^{2}}{2 b^{2}}-6 \end{array} \)
Dies ist ein Widerspruch denn \( \sqrt{35} \) ist nicht rational.

Answer 2

Wäre \(\sqrt{7}+\sqrt{5}\) rational, dann auch

\(\sqrt{7}-\sqrt{5}=\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\), folglich auch

\(\sqrt{7}=((\sqrt{7}+\sqrt{5})+(\sqrt{7}-\sqrt{5}))/2\), was

bekanntermaßen nicht der Fall ist.