…wie lässt sich zeigen, das der Betrag von sin(1/x) immer kleiner ist als 1/x (für alle natürlichen Zahlen x)

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

wie lässt sich zeigen, das der Betrag von sin(1/x) immer kleiner ist als 1/x

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Answer 1

wie lässt sich zeigen, das der Betrag von sin(1/x) immer kleiner ist als 1/x

Das lässt sich nicht zeigen, wegen

        \(\frac{1}{-2/\pi} < 0 < \left|\sin\left(\frac{1}{-2/\pi}\right)\right|\).

Comments

Hallo Oswald,

es geht laut Fragesteller um x∈N und damit um die Behauptung, dass

\( sin\frac{1}{1} <\frac{1}{1}\)

\( sin\frac{1}{2} <\frac{1}{2}\)

\( sin\frac{1}{3} <\frac{1}{3}\)

usw.

Da sich das alles im Positiven abspielt, ist der Betrag sowieso hinfällig.

Answer 2

Aloha :)

Für \(x\in(0;1]\) gilt \(0<\cos(x)<1\). Wir integrieren beide Seiten der Ungleichung:$$\int\limits_0^x\cos(t)\,dt<\int\limits_0^x1\,dt\implies\left[\sin(t)\right]_0^x<\left[t\right]_0^x\implies\sin(x)<x$$

Für \(x\coloneqq\frac1n\) mit \(n\in\mathbb N\) ist \(x\in(0;1]\) erfüllt, sodass gilt$$\sin\left(\frac1n\right)<\frac1n\quad\text{für alle }n\in\mathbb N$$