Dazu ist mir aufgefallen, dass es schon Verknüpfungstafeln gibt mit gleichen Elementen in einer Zeile/Spalte. Woher weiß ich, dass es in diesem Fall nicht so ist und vor allem wie beweise ich es?
Das liegt an der Gültigkeit der Gruppenaxiome.
1. Jedes El. kommt in jeder Zeile vor.
Bew.: Sei Z die Zeile, die neben dem Element x steht und angenommen
es ist y∈G und y kommt in der Zeile nicht vor. Das hieße:
Es gibt kein u∈G mit x*u=y . Aber x besitzt ein Inverses x^(-1).
==> x^(-1)* (x*u)= x^(-1) * y assoziativ !
==> ( x^(-1)* x) *u= x^(-1) * y Def. invers
==> e *u= x^(-1) * y Def. neutral
==> u= x^(-1) * y
Also gibt es doch ein u∈G mit x*u=y. Widerspruch !
So ähnlich bekommst du auch die anderen Teile hin.
Nimm etwa an ein y kommt in einer Zeile zweimal vor, dann ...