2 Aufgaben zu Verknüpfungstafeln

Question

Ich habe folgende Aufgaben zu machen und leider verstehe ich sie gar nicht.

1.

Sei (G, ◦) eine Gruppe mit endlich vielen Elementen. Zeigen Sie, daß in jeder Zeile und in jeder Spalte der Verknüpfungstafel jedes Element genau einmal vorkommt.

Dazu ist mir aufgefallen, dass es schon Verknüpfungstafeln gibt mit gleichen Elementen in einer Zeile/Spalte. Woher weiß ich, dass es in diesem Fall nicht so ist und vor allem wie beweise ich es?

2.

Betrachten Sie ein Rechteck, das kein Quadrat ist, und alle Rotationen und Spiegelungen, die das Rechteck auf sich selbst abbilden. Stellen Sie die Verknüpfungstabelle auf. Zeigen Sie, daß diese Abbildungen eine Gruppen bilden (Beweis der Assoziativität nicht notwendig).

Dazu ist mit gar nichts eingefallen. Wie stelle ich eine Verknüpfungstabelle auf, wenn ich keine Elemente gegeben habe?

Answer 1

Dazu ist mir aufgefallen, dass es schon Verknüpfungstafeln gibt mit gleichen Elementen in einer Zeile/Spalte. Woher weiß ich, dass es in diesem Fall nicht so ist und vor allem wie beweise ich es?

Das liegt an der Gültigkeit der Gruppenaxiome.

1. Jedes El. kommt in jeder Zeile vor.

Bew.: Sei Z die Zeile, die neben dem Element x steht und angenommen

es ist y∈G und y kommt in der Zeile nicht vor. Das hieße:

Es gibt kein u∈G mit x*u=y  . Aber x besitzt ein Inverses x^(-1).

             ==>   x^(-1)*  (x*u)=   x^(-1) * y    assoziativ !

              ==>  ( x^(-1)*  x) *u=  x^(-1) * y  Def. invers

                        ==>  e *u=  x^(-1) * y         Def. neutral

                            ==>    u=  x^(-1) * y

Also gibt es doch ein u∈G mit x*u=y. Widerspruch !

So ähnlich bekommst du auch die anderen Teile hin.

Nimm etwa an ein y kommt in einer Zeile zweimal vor, dann ...

Comments

Ist u eine beliebige Variable oder hat das eine Bedeutung (evtl. die Spalte?)?

---

Wenn das y vorkäme wäre das u die Spalte.

Wenn es also nicht vorkommt gibt es keine

Spalte (also kein u), in der das y steht.