Wie lernt man es selbst Beweise aufzustellen?

Question

Ich weiß nicht ob solche Fragen hier erlaubt sind, aber ich probiere es mal.

Ich studiere halt momentan und verstehe an sich alles recht gut. Es gibt nur eine Sache, welche weder ich, noch meine Kommilitonen, verstehen: Beweise.

Die Professoren machen es immer vor und es fängt leicht an. Aber es wird ganz schnell so abstrakt, dass man einfach nicht mehr versteht wie man das je selbst hinbekommen soll.

Der Professor guckt durch die Reihen im Hörsaal, sieht die verwirrten Gesichter und sagt "Machen Sie sich keine Sorgen, irgendwann verstehen Sie das schon."

Nur versteht es immernoch kaum jemand und mittlerweile gibt es Probleme bei den Hausaufgaben.

Also meine Frage: Wie schaffe ich es selbst Beweise aufzustellen? Kennt ihr irgendwelche guten Bücher, Videos, Artikel, was auch immer.. ich will es einfach nur verstehen. Die Professoren und Studenten aus höheren Semestern scheinen es im Schlaf zu können, während wir nur doof rum sitzen und abschreiben, was die uns vorgeben.

Answer 1

Mathematik lernen ist ein wenig wie Fahrschule. Man lernt Mathematik nicht, indem man abschreibt. Genauso wenig lernt man Autofahren, indem man auf dem Beifahrersitz sitzt.

Die meisten sind ja mit ihren Eltern 18 Jahre mitgefahren und können sie deswegen Autofahren? Sicherlich nicht. Anfangen zu lernen tut man erst, wenn man selber hinter dem Steuer sitzt.

In der Mathematik ist es genauso. Glaube nicht, du lernst es, indem du von schlauen Menschen abschreibst.

Wenn ich etwas lernen will, schreibe ich mir als Erstes einen Formel- und Merkzettel, wo alles Wichtige draufsteht.

Das wären bei dir jetzt also die gängigen Beweisverfahren:

direkter Beweis
indirekter Beweis
vollständige Induktion
Schubfachprinzip
...

Dabei schreib’ ich mir auch immer Beispiele mit auf, wo diese Beweisverfahren angewandt werden können.

Dann gehe ich selber an Übungsaufgaben. Am einfachsten welche wo ich eine Lösung habe. Aber ich schreibe dann nicht die Lösung ab. Ich probiere es selber zu machen. Nur in dem Fall, wenn ich nicht weiterkomme, schau ich in die Lösung und hole mir eine Idee. Dann leg ich die Lösung wieder weg und probiere diese Idee selber rechnerisch umzusetzen.

Man kann sich auch wo, anders Tipps holen. Als ich selber im Studium war, hatten wir eine Lerngruppe mit 6 Personen. Wir haben und gegenseitig unterstützt und Tipps gegeben.

Während man Übungsaufgaben macht, erweitert man seinen Formel- und Merkzettel um wichtige Tipps oder Aufgabenstellungen, bei denen man Schwierigkeiten hatte. Am Ende der Übungsphase sollte man dann mit seinem und dem Wissen auf seinem Merkzettel alle möglichen Übungsaufgaben lösen können. Wenn nicht, ist der Merkzettel nicht ausreichend. Mit dieser Vorbereitung bin ich dann in die Prüfung gegangen und habe die meisten dann auch gleich beim ersten Mal zufriedenstellend geschafft.

Ihr habt heute sogar noch eine viel bessere Ausgangssituation. Ich habe das Internet mit einem schier unglaublichen Angebot an Hilfsmitteln und Lernmaterialien. Zu sehr vielen Themen findet man bereits nach kurzer Recherche etwas Passendes.

Trotzdem sollte man nicht die guten Bücher vergessen. In einem guten Buch steht das Wissen einer Vorlesung schön drin. Bevor man also zu viel Zeit im Internet mit Suchen verbringt, kann es auch manchmal günstig sein, sich in eine Bücherei oder in einen Buchladen zu setzen und man etwas in einem Fachbuch zu schmökern. Dazu muss man auch nicht alle Bücher gleich kaufen. Inzwischen bekommt man sogar schon etliche Fachbücher in der Onleihe als eBook.

Answer 2

Hallo :-)

Durch Zuschauen wird man mit den Konzepten in der Mathematik nicht schlauer.

Es klingt hart, aber Mathematik muss man eben einerseits selbst betreiben (zb durch Übungsaufgaben) und andererseits über Resultate sprechen, da man durch das miteinander Reden doch eine andere Sichtweise auf das gegebene Problem einnimmt, als wenn man nur allein drüber brütet.

Mathematische Beweise, so wie sie in ,,üblicher" Art (nicht immer die schönste) präsentiert werden, sind immer das Ergebnis von einem (durchaus langem) Denkprozess, der statt gefunden hat. Beim Finden eines Beweises tritt man aus meiner Erfahrung gefühlt mehr als die Hälfte in eine Sackgasse oder man stellt fest, dass ein Ansatz doch nicht klappt, weil einem prompt dazu ein Gegenbeispiel einfällt. Mathematische Beweise zu bauen ist viel Schmierarbeit. Man muss dabei immer sämtliche Grundbegriffe/Konzepte vor Augen führen und minuziös gegen kontrollieren, ob das, was man gedanklich gestrickt hat auch mit den Definitionen, Sätzen usw. auch konform ist. Das kann je nach Thema mal mehr mal weniger tiefgründig ausarten.

Beweise, wie man sie also aufschreibt, sind also nur eine Zusammenfassung für den Leser, die einen Leitfaden hergeben, ohne darauf zb einzugehen, wie man denn zb bei einem Stetigkeitsbeweis auf die Wahl vom \(\delta\) gekommen ist. Man läuft eben brutal gerade aus und präsentiert nur das, was per Definition(en) zu zeigen ist (ohne es meist sogar noch explizit zu erwähnen, was man zeigen will).

Nun gibt es aus meiner Sicht tatsächlich einige Arten von Formulierungen in Beweisen, die doch recht arrogant und meiner Meinung nach überflüssig sind und nicht dort hingehören. Diese suggerieren dem Leser, dass es ja so ,,offensichtlich" ist. Das ist aus meiner Sicht keine schöne Art und kann bei Anfängern mal schnell Frustration und Demut hervorrufen. Von daher vermeide ich solche Formulierungen tunlichst. Falls du aber über solche Phrasen stolpern solltest, dann blende sie einfach aus und überlege für dich selber, ob du nun die vom Autor formulierte Aussage aus seinem voran gegangenen Sätzen mit deinem Wissen folgern kannst. Denn oftmals hat sich auch ein Autor lange mit seinem Beweis beschäftigt, was dem Leser eher verborgen bleibt. Man sollte sich also auch immerwieder fragen, was man nicht weiß und versuchen zu klären, was gerade genau einem an einem ,,Beweis" stört.

Mir persönlich half es damals sich erstmal mit kleineren Häpchen an das mathematische Denken heranzutasten und erstmal generell sich mit leichterer Kost zu beschäftigen. Lineare Algebra zb. Dort sind die Konzepte eher schlichter gehalten als in der Analysis, wo die Beweise doch recht schnell auf einen Anfänger verunsichernd wirken können und doch oft sehr frickelig sind, als in der Linearen Algebra.

Oftmals werden gerade in einer Mathevorlesung Grundkonzepte zum Lösen bestimmter Klassen von Problemen gezeigt, die man dann in Übungsaufgaben geeignet einsetzen kann. Und dann gibt es Sachen, die man einfach gesehen haben muss, um eine bestimmte Aufgabe zu lösen.