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Kreuze die zutreffenden Antworten an. In jeder der sechs Gruppe (a)-(f) sind genau zwei Antworten richtig. Jedes richtig gesetzte Kreuz zählt einen Punkt, für jedes falsch gesetzte Kreuz wird ein Punkt abgezogen. Ist die Gesamtpunktezahl einer Gruppe negativ, wird sie auf Null aufgerundet.
(a) Welche der folgenden Aussagen sind Tautologien? (2 Punkte)
\( ((p \Rightarrow q) \wedge p) \Rightarrow q \)
\( ((p \Rightarrow q) \wedge \neg p) \Rightarrow \neg q \)
\( ((p \Rightarrow q) \wedge q) \Rightarrow p \)
\( ((p \Rightarrow q) \wedge \neg q) \Rightarrow \neg p \)
(b) Welche der folgenden Aussagen sind wahr? (2 Punkte)
\( \forall a \in \mathbb{Z}: 3 \mid a(a+1) \)
\( \forall a, b \in \mathbb{Z}:(7 \nmid a \wedge 7 \nmid b) \Rightarrow 7 \nmid a b \)
\( V a, b \in \mathbb{Z}:(6 \nmid a \wedge 6 \nmid b) \Rightarrow 6 \nmid a b \)
\( \forall a, b \in \mathbb{Z}:(5 \mid a b \wedge 5 \nmid b) \Rightarrow 5 \mid a \)
(c) Die Relation \( R \) auf \( \mathbb{Z} \), definiert durch
\( n R m \quad: \Leftrightarrow \quad n^{2} \leq m^{2} \)
ist: (2 Punkte)
reflexiv
transitiv
symmetrisch
antisymmetrisch
(d) Ist \( f: X \rightarrow Y \) eine injektive Abbildung und \( g: Y \rightarrow Z \) eine Bijektion, dann muss auch gelten: (2 Punkte)
\( g \circ f \) ist injektiv
\( g \circ f \) ist surjektiv
\( f \) ist surjektiv
\( g \) ist surjektiv
(e) Welche der folgenden Abbildungen sind surjektiv? (2 Punkte)
\( \square \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, x \mapsto-x \)
\( \square \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, x \mapsto 3 x \)
\( \square \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}^{2}, x \mapsto(x, x) \)
\( \square \mathbb{Z}^{2} \rightarrow \mathbb{Z},(x, y) \mapsto x+y \)
(f) Für die Restklassenringe \( \mathbb{Z}_{n} \) gilt: (2 Punkte)
\( \mathbb{Z}_{4} \) ist ein Körper.
\( \square \mathbb{Z}_{5} \backslash\{0\} \) bildet bzgl. der Multiplikation von Restklassen eine Gruppe.
Aufgabe:
