Zeige die womögliche Sinnlosigkeit der Definition

Question

f:M→N

Sei ≈ eine Äquivalenzrelation auf M. Ferner sei zusätzlich die Surjektivität von f vorausgesetzt.
Zeige an Hand eines Beispiels, dass die folgende „Definition“ einer Relation ≈f auf N sinnlos sein
kann: Es sei f (x) ≈f f (x′) genau für x ≈ x′.

Ich denke mir, dass es sinnlos sein kann, weil ja für jeden y-Wert mindestens ja ein x-Wert existiert (surjektiv), heißt x steht ja bereits dadurch in Relation. Aber wie zeigt man das?

Comments

Du willst eine Relation auf N. Also sollten man für je zwei Elemente in N auch entscheiden können ob sie in Relation stehen oder nicht.

Da man dafür aber für jedes Element n in N eine Darstellung der Form n=f(m) braucht, ist wichtig, dass jedes Element von N ein Urbild unter f in M besitzt. Das ist durch die Surjektivität gegeben.

Da die Relation zweier Bilder dann auf die Relation zweier Urbilder zurückgeführt wir, könnte dies zu Problemen führen, falls die Urbilder nicht eindeutig bestimmt sind (es also teilweise mehr als eines gibt).

Du kannst dir also mal ein kleines Beispiel mit f surjektiv und nicht injektiv überlegen, bei dem es zu Problemen kommt.

Answer 1

Seien

• \(M = \{-1, 0, 1\}\),
• \(N = \{0\}\),
• \(m\approx n \iff 2|m-n\),
• \(f(x) = x^3 - x\).
  

Gilt \(f(-1)\approx_f f(1)\)?

Gilt \(f(0)\approx_f f(1)\)?

Comments

Keines gilt, da ja die Äquivalenzrelation dann verletzt wäre.

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\(f(-1)\approx_f f(1)\) gilt genau dann, wenn \(2\) ein Teiler von \(-1 -1\) ist. Ist \(2\) ein Teiler von \(-1 -1\)?

\(f(0)\approx_f f(1)\) gilt genau dann, wenn \(2\) ein Teiler von \(0 -1\) ist. Ist \(2\) ein Teiler von \(0 -1\)?

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Das erste ja, das zweite nicht. Aber was ist genau dann mit dieser genannten "Sinnlosigkeit" bzgl. der Definition in der Angabe gemeint?

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Es gilt \(f(-1) = 0\) und \(f(1) = 0\) und \(f(-1)\approx_f f(1)\), also \(0\approx_f 0\).

Es gilt \(f(0) = 0\) und \(f(1) = 0\), aber und \(f(0)\not\approx_f f(1)\), also \(0\not \approx_f 0\).

Das ist ein Widerspruch