Integral von einer Wurzel mit Absolutbetrag

Question

\( \int \limits_{-1}^{2} \sqrt{|1-x|} d x \)

\( \int \limits_{-1}^{0} \sqrt{-(1-x)} d x+\int \limits_{0}^{2} \sqrt{1-x} d x \)

\( \int \limits_{-1}^{0} \sqrt{-1+x} d x+\int \limits_{0}^{2} \sqrt{1-x} d x \)

\( u=-1+x \quad \frac{d u}{d x}=1 \quad \Rightarrow d x=1 d u \quad u \geqslant 0 \)

\( v=1-x \quad \frac{d v}{d x}=-1 \Rightarrow d x=-1 d v \quad v \geqslant 0 \)

\( \begin{array}{cc}u \geqslant 0 & v \geqslant 0 \\ -1+x \geqslant 0 & 1-x \geqslant 0 \\ x \geqslant 1 & 1 \geqslant x\end{array} \)

\( \left.\frac{(-1+x)^{3 / 2}}{3 / 2}\right|_{-1} ^{0}+\left(-\left.\frac{(1-x)^{3 / 2}}{3 / 2}\right|_{0} ^{2}\right) \)

\( \left.\frac{2 \cdot \sqrt{(-1+x)^{3}}}{3}\right|_{-1} ^{0}-\left.\frac{2 \cdot \sqrt{(1+x)^{3}}}{3}\right|_{0} ^{2} \)

undef - undef \( -2 \sqrt{3}-\frac{2}{3} \)

mein Ansatz wäre, dass ich das Integral aufteile damit sich der Absolutbetrag auflöst. Jedoch bekomme ich dann eine Negative Zahl unter der Wurzel.

Wo liegt der Fehler meiner Berechnung?

Answer 1

Es ist

        \(|1 - x| = \begin{cases}1-x & \text{falls } 1-x\geq 0\\-(1-x)& \text{falls } 1-x < 0\text{.}\end{cases}\)

Dabei ist

      \(1-x\geq 0 \iff x \leq 1\).

Teile also in

      \( \int \limits_{-1}^{2} \sqrt{|1-x|}\,\mathrm{d}x =  \int \limits_{-1}^{1} \sqrt{1-x} \,\mathrm{d}x + \int \limits_{1}^{2} \sqrt{-(1-x)}\, \mathrm{d}x\)

auf.

Answer 2

Hallo

da unter der Wurzel ein Betrag steht, kann da ja nie was negatives stehen

für -1<=x<=1 hast du \( \sqrt{1-x} \) ; für  x>1 hast du \( \sqrt{x-1} \) zu integrieren.

dass du bei 0 trennst ist nicht sinnvoll und so wie du schriebst falsch .

Gruß lul