Finden Sie ein Element der Ordnung 3 in G oder zeigen Sie, dass keins existiert

Question

Text erkannt:

Sei \( Q \) die Menge \( \{(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)\} \) in \( \mathbb{R}^{2} \) und sei
\( G=\left\{A \in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}) \mid A(Q)=Q\right\} . \)
Somit besteht \( G \) aus denjenigen invertierbaren Matrizen, die die Ecken eines Quadrats in der Ebene auf sich selbst abbilden. Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass \( G \) eine Gruppe ist.
(a) Zeigen Sie, dass ein Element \( A \in G \) eindeutig durch seine Einschränkung auf \( Q \) bestimmt ist.
Hinweis: Wählen Sie eine geeignete Basis von \( \mathbb{R}^{2} \). Argumentieren Sie mit Hilfe der Darstellungsmatrix bezüglich dieser Basis.

Aufgabe:

Sei \( Q \) die Menge \( \{(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)\} \) in \( \mathbb{R}^{2} \) und sei
\( G=\left\{A \in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}) \mid A(Q)=Q\right\} . \)
Somit besteht \( G \) aus denjenigen invertierbaren Matrizen, die die Ecken eines Quadrats in der Ebene auf sich selbst abbilden. Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass \( G \) eine Gruppe ist.

Finden Sie ein Element der Ordnung 3 in G oder zeigen Sie, dass keins existiert.

Problem/Ansatz:

Ich bin jetzt mal ein paar passende Matrizen durchgegegangen:

\( 1=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] \),
\( r^{2}=\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] \),
\( r=\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right], r^{3}=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right] \)
\( s=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right], r^{2} s=\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] \)
\( r s=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right], r^{3} s=\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ -1 & 0\end{array}\right] \).

Und keiner von diesen passt, da entweder bei Potenz 2 oder 4  die Einheitsmatrix herauskommt, deshalb vermute ich stark, dass es keine Matrix gibt mit Ordnung 3.

Aber wie zeigt man jetzt, dass es keine existiert?

Answer 1

Aber wie zeigt man jetzt, dass es keine existiert?

Unter Verwendung von a)

und wenn A^3 = I ist, muss A^2 = A^(-1) sein.

Wegen a) brauchst du nur für die 4 Quadratecken zu zeigen,

dass das nicht möglich ist.

Oder du gehst über die Gruppenordnung. Gäbe es so ein Element,

würde es eine Untergruppe der Ordnung 3 erzeugen.

Aber G hat die Ordnung 8 und 3 ist kein Teiler von 8.

Answer 2

Es handelt sich um die Diedergruppe \(D_4\) der Deckoperationen

(Isometrien) des Quadrats Q. Die Diedergruppe hat die Ordnung \(2\cdot 4=8\)

Die Anzahl der Elemente einer Untergruppe ist ein Teiler der Gruppenordnung.

3 ist kein Teiler von 8, also gibt es keine Untergruppe der Ordnung 3,

insbesondere auch kein Element der Ordnung 3.