Jedes Element einer Gruppe hat Ordnung 2 (außer e)

Question

Sei G eine Gruppe in der jedes Element, bis auf e, die Ordnung 2 hat.

a)Zeigen sie, dass G automatisch abelsch ist. Hinweis: betrachten sie den Term ' abab '.

b)Zeigen Sie weiterhin, dass man G so mit einer Skalarmultiplikation mit dem Körper {0,1} aus zwei Elementen versehen kann, dass G zu einem Vektorraum wird.

c) Folgern Sie insbesondere, dass G von Zweierpotenzordnung sein muss.

Comments

Zu a): Es gilt ja nach definition für ein Element g aus G, dass g^2 =1 ist.

=> g = ge = g(gg^{−1}) = (gg)g^{−1} = g^{2}g^{−1} = eg^{−1} = g^{−1},

dann ist auch ab=(ab)^{-1} und abab=e.

<=> a*abab=a*e=a=a^{2}bab=bab

<=>bab^2=ab
<=> ab=ba

Damit wäre dann ja gezeigt, dass die Gruppe abelsch ist oder?

Answer 1

Für jedes Element a der Gruppe gilt a²=1. Damit ist $$a=a^{-1}$$. Für alle a,b gilt also: $$ ba=b^{-1}a^{-1}=(ab)^{-1}=ab$$, also ist die Gruppe abelsch. b)0*g=g und 1*g=g c)das gilt nur für endliche G.

Comments

Danke schonmal für die zügige Antwort, sieht sehr gut und auch nahezu trivial aus

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kannst du mir erklären wie genau du das bei der b) meinst? ich muss ja zeigen, dass die Axiome (x+y,z)=(x,z)+(y,z) ; (x,a*y)=a*(x,y) ; (x,y)=(y,x) ; (x,x)>0 bei x ungleich 0

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in der Aufgabe steht was von Skalarmultiplkation (ist sinnvoll, da ein Vektorraum definiert werden soll). Was du beschreibst ist eher ein Skalarprodukt, dazu braucht es bereits einen Vektorraum. Und hier gibt es kein >, d.h. keine (partielle) ordnung.

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Ok hast du natürlich recht. ich muss dann also noch die Axiome beweisen, die für einen vektorraum zusätzlich zu denen einer abelschen Gruppe gelten oder?

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SM1: (ab)g=a(bg) mit a,b aus K und g aus G

-    (1*0)*g=0*g=1*(0*g)

SM2: 1*g=g

-    ist ja gegeben

D1 a(g+f)=ag+fg mit f aus G

-    a(g+f)=g+f=a*g+a*f

D2 (a+b)g=a*g+b*g

-     hier verstehe ich das noch nicht so ganz

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Da es durch eine Fallunterscheidung definiert wurde wird auch der Beweis wohl oder übel auf eine fallunterscheidung rauslaufen. Bis jetzt sieht alles gut aus.

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bei (a,b)=(0,0)v(0,1)v(1,0) sehe ich da auch nirgendwo ein Problem, bei (1,1) schon, da ja 1+1 in dem Körper 0 wäre oder? aber 1*g+1*g ist ja nicht g

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1+1=0 im Körper ist richtig. Dementsprechend soll ja 1*g+1+g=0 sein. Und dem ist auch so, denn jedes Gruppenelement hat Ordnung 2(oder 1). Was hier wohl ein bisschen blöd gelaufen ist, ist dass anfangs die Verknüpfung der Gruppe als * geschrieben wurde. In den Vektorraumaxiomen ist es aber als + geschrieben. (und 0 als neutralem Element)

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achso ok, ja dann passt es ja. vielen dank! hast du vielleicht noch einen tipp zu c)

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Ich würd die Mächtigkeit von {0,1}x{0,1},x{0,1}x... ausrechnen und die b) ausnutzen