Bringen Sie diesen Ausdruck in die Polardarstellung

Question

Aufgabe: Bringen Sie diesen Ausdruck in die Polardarstellung:

$$\huge z^5=(\sqrt{2}-i\sqrt{2})^{104}(-1+i*\sqrt{3})^{27}$$

Problem/Ansatz:

Benötige Hilfe. Komme hier gar nicht weiter. Die Aufgabe will das ich den Ausdruck in die Polardarstellung bringe. Und ich weiß gar nicht wie und wo ich anfangen muss.

Answer 1

√2 - i·√2 = √2·(1 - i) = √2·√2·e^(- pi/4·i) = 2·e^(- pi/4·i)

√(1² + √3²) = 2

tan(α) = √3/(-1) --> α = 2/3·pi

-1 + i·√3 = 2·e^(2/3·pi·i)

Damit kannst du die komplexen Zahlen ersetzen. Danach darfst du den Ausdruck dann noch vereinfachen

z⁵ = (2·e^(- pi/4·i))¹⁰⁴·(2·e^(2/3·pi·i))²⁷

z⁵ = 2¹⁰⁴·e^(- 26·pi·i)·2²⁷·e^(18·pi·i)

z⁵ = 2¹³¹·e^(- 8·pi·i)

z⁵ = 2¹³¹·e^(0·i)

z⁵ = 2¹³¹

Comments

Wieso nimmt man vom zweiten Teil den Betrag und vom Ersten nicht?

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Wieso nimmt man vom zweiten Teil den Betrag und vom Ersten nicht?

Hab ich doch auch gemacht. Oder ich missverstehe dich gerade.

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Wieso geht in der ersten Zeile das i verloren? Und -pi/4 wegen (1 -i) ?

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Wo geht genau das i verloren. Weißt du was eine Polarform ist. Du stellst damit einen Wert auf x und y-Achse statt mit Koordinaten mit Länge und Winkel dar.

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Okay, Sie haben dort den Betrag direkt gebildet. Ich hätte es schon mal gar nicht geschafft Wurzel aus 2 auszuklammern.

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Okay, Sie haben dort den Betrag direkt gebildet.

Es gibt ein paar komplexe Zahlen, die schreibt man einfach hin, ohne nachzudenken, weil man sie einfach kennt.

Dazu gehören

1 + i ; 1 - i ; -1 - i ; -1 + i oder k·i

Da du dich noch nicht so lange mit komplexen Zahlen beschäftigst kennst du die natürlich auch noch nicht auswendig. Das kommt etwas später.

Wie immer gilt mein Ratschlag ein Tool wie Wolframalpha kann durchaus Helfen und darf auch immer benutzt werden. Außer in Klausuren.

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Wie genau benutzt man Wolfram um die Gleichung in die Polarform zu bringen? Ich finde hier leider nicht den Ausdruck: 2¹³¹.

https://www.wolframalpha.com/input?i=%28sqrt%282%29-i+sqrt%282%29%29…

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Und jetzt schau mal meine Lösung an.

Ich habe 2¹³¹ nur nicht ausgerechnet, weil ich etwas fauler bin wie Wolframalpha.

Kein Dozent wird verlangen, dass du 2¹³¹ als ausgerechnete Zahl hinschreibst.

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Vielen Dank für die Erklärungen!

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Rückfrage: Kommt man hier für den ersten Teil

über arcustangens(-wurzel(2)/wurzel(2)) auf -1/4pi, da im 4. Quadranten 2pi-1/4pi 7/4pi ist?

Answer 2

Bemerkungen für Einheitswurzel-Fans:

$\zeta=\frac{1-i}{\sqrt{2}}$ ist eine 8-te Einheitswurzel, d.h. $\zeta^8=1$.

$\omega=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ ist eine 3-te Einheitswurzel, d.h. $\omega^3=1$.

Die gegebene Gleichung kann man also auch so schreiben:

$z^5=(2\zeta)^{104}(2\omega)^{27}=2^{131}(\zeta^8)^{13}(\omega^3)^9=2^{131}$