Bestimmen Sie σ(G) für G={{x} | x∈E}

Question

Aufgabe:

Es sei E eine Menge.

Bestimmen Sie σ(G) für G={{x} | x∈E}

Problem/Ansatz:

Kann man nicht einfach die kleinste Sigma-Algebra bilden mit σ(G)={∅,G}?

Oder ist das nicht möglich?

Answer 1

Da die Vereinigungen abzählbar vieler Mengen der \(\sigma\)-Algebra ebenfalls

in \(\sigma(G)\) liegen, sowie deren Komplemente, ist

\(\sigma(G)\) die Menge aller abzählbaren Teilmengen von \(E\) und

der Teilmengen von \(E\), deren Komplement abzählbar ist.

Ist \(E\) selbst abzählbar, so ist daher \(\sigma(G)=\mathcal{P}(E)\).

Comments

Aber E ist ja eine beliebige Menge, also nicht zwingend abzählbar. Gilt dann trotzdem \(\sigma(G)=\mathcal{P}(E)\)?

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Nein. Das gilt genau dann, wenn E abzählbar ist.

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Ok, also ist σ(G)={∅,G} falsch?

Kann man dann allgemein schreiben σ(G)={A⊂E | A oder A^c ist (höchstens) abzählbar}?

Dann müsste es auch richtig sein, wenn E abzählbar ist oder?

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Ok, also ist σ(G)={∅,G} falsch?

Das ist in der Tat falsch; denn \(\sigma(G)\)  muss ja u.a.

\(E\) enthalten.

Kann man dann allgemein schreiben ...

Ja. Das kann man.

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Ok. Vielen Dank für deine Hilfe :)

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Eine Verständnisfrage noch. Wenn jetzt E={1,2,3} wäre, dann wäre G={{1},{2},{3}}.

Wieso muss jetzt in σ(G) E liegen?. Ich dachte, dass nur G und das Komplement ausreicht?, weil {A⊂E | A oder Ac ist (höchstens) abzählbar} ist doch σ(E) oder nicht?

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\(G\) ist doch nur das Erzeugendensystem. Wir sprechen aber

doch von \(\sigma\)-Algebren auf \(E\), nicht von \(\sigma\)-Algebren

auf \(G\).

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War wegen Krankheit bei der Vorlesung nicht anwesend und habe die Definition im Skript irgendwie überlesen. Dachte σ(G) wäre σ-Algebra auf G. Aber jetzt verstehe ich das alles. Ohman, wie dumm von mir.

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Aber jetzt verstehe ich das alles.

Das ist die Hauptsache.
Noch einen schönen Sonntag !

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Danke, dir auch.