Zeige, dass die Gleichung xn = c für n ≥ 2 und c ∈ ℤ keine rationale Lösung in x besitzt, die nicht ganzzahlig ist.

Question

Aufgabe:

Zeige, dass die Gleichung xⁿ = c für n ≥ 2 und c ∈ ℤ keine rationale Lösung in x besitzt, die nicht ganzzahlig ist.

Wir sollen dazu die Primteiler von c untersuchen, aber ich weiß einfach nicht wie ich da anfangen soll...

Answer 1

Angenommen, es gäbe so eine Lösung \( x=\frac{p}{q}  \) , dann kann man die durch

vollständiges Kürzen so einrichten, dass p∈ℤ und q∈ℕ^>1 = {2;3,...,∞} ist.

Dann besitzt q einen Primteiler t, der in der Primfaktorzerlegung von p nicht vorkommt.

Wäre nun \( (\frac{p}{q})^n = c  \) , also   \( \frac{p^n}{q^n} = c \) bzw.   \( p^n=c \cdot q^n  \)

Dann stünde links eine Zahl, die den Primteiler t nicht enthält, rechts wäre er aber enthalten.

Widerspruch !