Betrachen Sie den ℝ2 und A:=[0,1)×[0,1)

Question

Aufgabe:

Betrachen Sie den ℝ² und A:=[0,1)×[0,1). Dann ist A

a. nicht offen und abgeschlossen
b.offen und nicht abschlossen
c.offen und abgeschlossen
d.werder offen noch abgeschlossen

Problem/Ansatz:

Also man erhält ja ein Quadrat, welche offene und abgeschlossene Seiten hat. Ist dann c) richtig?

Answer 1

Hallo,

\(A\) ist nicht abgeschlossen, denn sei \( a_n = (1-\frac1n,0),  n\in\mathbb{N}\). Dann ist \( (a_n)\subset A \) doch \(a_n \overset{n\to\infty}{\to} (1,0)\notin A \).

Für die Offenheit überlege dir, ob \( B_R(0_\mathbb{R^2}) = \lbrace{(x,y)\in\mathbb{R^2}: |(x,y)|<R\rbrace} \) für \(R>0\) in A liegen kann.

Comments

Die Antwort ist ja, also ist es offen und nicht abgeschlossen?

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Für welches \(R>0\) liegt die Kugel denn in A?

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Wenn ich jetzt den Punkt (0,0) wähle, dann kann ich ja kein R finden, dass größer als Null ist, weil es dort abgeschlossen ist. Die Kugel liegt nur für (a,1) mit a<1 und (1,b) mit b<1 in A oder?

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Wie lautet denn die Definition der Offenheit in einem metrischen Raum?

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Eine Menge ist Offen wenn jeder ihrer Punkte ein innerer Punkt ist, also ist A nicht offen, da der Punkt (0,0) in A liegt, aber kein innerer Punkt ist.

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Ja, so kannst du es begründen.

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Ok, vielen Dank, dass du mir nicht gleich die Lösung gesagt hast, so habe ich es viel mehr Verstanden. :)