Zeigen Sie, dass folgende Ungleichung gilt

Question

Folgendes ist zu zeigen: ∀n∈N: (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1)

IA: n=1

(1+1/1)^1=2     <  (1+1/1+1)^1+1=9/4

IV:∃n∈N: (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1)

IS: n→n+1

zu zeigen: (1+1/n+1)^n+1<(1+1/n+2)^(n+2)

(1+1/n+1)^(n+1)= (1+1/n+1)^n *(1+1/n+1)^1  < (durch IV)

(1+1/n+2)^(n+1) * (1+1/n+2)^1=(1+1/n+2)^(n+2)

Ist es nun bewiesen mittels vollständiger Induktion?

Comments

Also ich kann Deine Letzte Ungleichung nicht nachvollziehen. Konkret, woher Du die n+2 im Nenner herholst.

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Hallo

wo du (durch IV) schreibst sehe ich nicht wie die IV hier reinspielt, ich glaube Induktion ist hier nicht der geeignete Weg für das monotone Steigen

lul

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Hier

https://www.mathelounge.de/966651/wie-zeigt-man-dass-eine-folge-monoton-wachsend-ist

findest Du eine Lösung

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IS: zu zeigen (1+(1/n+1)^(n+1)<(1/n+2)^(n+2)

(1+1/n+1)^(n+1)=(1+1/n+1)^n * (1+1/n+1)^1 < (IV)

(1+1/n+1)^1 * (1+1/n+1)^n+1= (1+1/n+1)^(n+2)

Habs umgeändert

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Aber das ist nicht zu zeigen!

Answer 1

$$ \left(  1 + \frac{1}{n} \right)^n \le \left(  1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1}  $$ ist äquivalent zu

$$ \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{-1} \le \left( \frac{ 1 + \frac{1}{n+1} }{ 1 + \frac{1}{n} } \right)^{n+1} =  \left( \frac{ n(n+2) }{ (n+1)^2 } \right)^{n+1} $$ und das ist äquivalent zu

$$  1 - \frac{1}{n+1} \le \left( 1 - \frac{1}{(n+1)^2} \right)^{n+1} $$ Das ist aber erfüllt wegen der Bernoullischen Ungleichung.