Diagonalisierbare Matrix mit Eigenwerten 1 oder -1 orthogonal

Question

Aufgabe:

Man beweise oder widerlege folgende Aussage über eine nxn Matrix für eine natürliche Zahl mit n>=2. Eine diagonalisierbare Matrix A, die höchstens die Eigenwerte 1 oder -1 besitzt, ist orthogonal.

Problem/Ansatz:

Ich hab folgendes Problem: Ich verstehe nicht, ob in der Fragestellung der Fall, dass die Matrix die Eigenwert 1 UND -1 besitzt, eingeschlossen ist. Dafür hätte ich dann ein Gegenbeispiel gefunden, dass die Matrix nicht orthogonal ist.

Ist aber gemeint, dass die Matrix nur den Eigenwert 1 oder -1 besitzt, dann komme ich nur auf Beispiele, die orthogonal sind. Aber wie kann man das beweisen?

Danke schon mal für die Hilfe!

Comments

Hier stand Unsinn.

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Ich hab folgendes Problem: Ich verstehe nicht, ob in der Fragestellung der Fall, dass die Matrix die Eigenwert 1 UND -1 besitzt, eingeschlossen ist. Dafür hätte ich dann ein Gegenbeispiel gefunden, dass die Matrix nicht orthogonal ist.

Das Gegenbeispiel interessiert mich.

Answer 1

Ich hab folgendes Problem: Ich verstehe nicht, ob in der Fragestellung der Fall, dass die Matrix die Eigenwert 1 UND -1 besitzt, eingeschlossen ist. Dafür hätte ich dann ein Gegenbeispiel gefunden, dass die Matrix nicht orthogonal ist.

Hier ist so ein Gegenbeispiel$$\left(\begin{array}{rr}1&1\\0&-1\end{array}\right).$$

Answer 2

höchstens die Eigenwerte 1 oder -1

bedeutet m.E.

Jeder auftretenden Eigenwert hat den Wert 1 oder den Wert -1,

also möglicherweise auch von jeder Sorte einer oder mehrere.

siehe aber auch

https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix#Eigenwerte

Comments

Dankeschön, dann kann ich es ja leicht mit dem Gegenbeispiel widerlegen :)