Folge, Grenzwert, konvergenz

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Für die Folge an= \( \frac{5(-1)^n n^2 -11}{(-1)^n n^2+3n+7} \)  habe ich den Gerenswert 5 bekommen .

ich möchte wissen , ob es richtig und die Folge konvergent ist?

Answer 1

kürzen mit n^2:

(5*(-1)^n -0)/(1*(-1)^n +0) = 5/1 = 5

Answer 2

Aloha :)

$$a_n=\frac{5\cdot(-1)^n\cdot n^2-11}{(-1)^n\cdot n^2+3n+7}$$Erweitere den Bruch zuerst mit \((-1)^n\). Für gerade \(n\) ist \((-1)^n=1\) und für ungerade \(n\) ist \((-1)^n=-1\). In jedem Fall ist aber \((-1)^n\cdot(-1)^n=1\). Wir erhalten:$$a_n=\frac{5\cdot\overbrace{(-1)^n\cdot\red{(-1)^n}}^{=1}\cdot n^2-11\cdot\red{(-1)^n}}{\underbrace{(-1)^n\cdot\red{(-1)^n}}_{=1}\cdot n^2+3n\cdot\red{(-1)^n}+7\cdot\red{(-1)^n}}=\frac{5\cdot n^2-11\cdot\red{(-1)^n}}{n^2+3n\cdot\red{(-1)^n}+7\cdot\red{(-1)^n}}$$Nun kürzen wir den Bruch mit \(n^2\):$$a_n=\frac{\frac{5\cdot n^2}{\green{n^2}}-\frac{11\cdot\red{(-1)^n}}{\green{n^2}}}{\frac{n^2}{\green{n^2}}+\frac{3n\cdot\red{(-1)^n}}{\green{n^2}}+\frac{7\cdot\red{(-1)^n}}{\green n^2}}=\frac{5-\frac{11\cdot(-1)^n}{n^2}}{1+\frac{3\cdot(-1)^n}{n}+\frac{7\cdot(-1)^n}{n^2}}\;\to\;\frac{5-0}{1+0+0}=5$$

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Danke für die Antwort