Würde dafür denn nicht immer x = x' rauskommen, selbst wenn die Abbildung nicht injektiv ist?

Question

Abbildung: f : ℚ → ℚ, x ↦ -2x + 3

Behauptung: Die Abbildung ist injektiv.

Nun hat der Professor wie folgt bewiesen, dass diese Abbildung injektiv ist:

Seien x, x' ∈ ℚ mit f(x) = f(x').

⇒ -2x + 3 = -2x' + 3

⇒ -2x = -2x'

⇒ x = x'

Bewiesen.

Nun meine Frage:

Er hat ja an sich nur die Abbildungsvorschrift genommen und eine Äquivalenzumformung durchgeführt. Würde dafür denn nicht immer x = x' rauskommen, selbst wenn die Abbildung nicht injektiv ist?

Zum Beispiel könnte man ja auch sagen:

Abbildung : f : ℝ → ℝ, x ↦ x²

Behauptung: Die Abbildung ist injektiv (ist sie eigentlich nicht).

Beweis:

Seien x, x' ∈ ℝ mit f(x) = f(x').

⇒ x² = x'² (Wurzel ziehen)

⇒ x = x'

Bewiesen.

Ist so ein Beweis trotzdem ausreichend in der Mathematik? Für mich fühlt sich das so an als hätte man nichts bewiesen. Auf x = x' kann ich ja schließlich mit jeder Abbildung kommen. Worin besteht also der Beweis genau?

Answer 1

\(x^2 = x'^2\) (Wurzel ziehen)
\(\Rightarrow x = x'\)

Dieser Schluss ist nicht zulässig; denn aus

\(x^2=x'^2\) kann man nur \(x=x'\vee x=-x'\)

schließen.

Es ist \(2^2=4=(-2)^2\). Willst du allen Ernstes daraus

\(2=-2\) schließen?

Comments

Nein, aber solche Ausnahmen könnte es ja auch nach dem ersten Beweis geben. Ich habe einfach das Problem, dass ich nicht ganz verstehe ab wann etwas als Beweis gilt. Am Ende muss der Leser ja selbst noch weiterdenken. Irgendwie fühlen sich mathematische Beweise für mich eher nach Vereinfachungen an, bei denen etwas immer simpler dargestellt wird, bis der Leser selbst sehr schnell sehen kann, dass es stimmt. Nur stimmt es ja von Anfang an schon. Also wie definiert man die Grenze eines Beweises, ab welcher man sagt "Na gut, ab hier kann der Leser es dann auch von allein verstehen"?

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Ein Beweis ist eine Kette von Implikationen oder Äquivalenzen, die
von einer bereits als gültig bewiesenen Aussage oder
einer Prämisse ausgeht. Das hat nichts mit dem Leser zu tun oder

dessen Verständnis, sondern ist ein formal sauberes Verfahren,
um von bereits gesicherten Aussagen zu neuen Aussagen oder
aus einer Prämisse zu daraus abgeleiteten Folgerungen zu
gelangen.

Nehmen wir nochmal das Beispiel \(x_1^2=x_2^2\).

Dies ist äquivalent zu \(x_2^2-x_1^2=0\).

Es ist also \(0=x_2^2-x_1^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)\).

Da der Körper, in dem \(x_1,x_2\) liegen, nullteilerfrei ist,

ist dies äquivalent zu \(x_1+x_2=0\; \vee \; x_1-x_2=0\).

Das ist gleichbedeutend mit

\(x_1=-x_2\; \vee \; x_1=x_2\).

Das ist eine Implikationskette, die in beiden Richtungen

gelesen werden kann, daher die Formulierung "ist äquivalent".

Man hätte auch ein KI-System diese Sache durchführen

lassen können. Die Methode ist nicht vom Betrachter abhängig,

bestenfalls die Art der Darstellung.

Answer 2

... und eine Äquivalenzumformung durchgeführt. Würde dafür denn nicht immer x = x' rauskommen ...

Ja.

⇒ x² = x'² (Wurzel ziehen)

Dadurch bekommst du die Gleichung

        \(|x| = |x'|\),

nicht die Gleichung

        \(x = x'\).