Damit eine Wendestelle existieren kann,
muss es schon 3. Grades sein.
f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x) =3ax^2 + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
1. P(2/3) => f(2) = 3 ==> 8a+4b+2c+d=3
2. Extremstelle = 1 =>f'(1)=0==> 3a + 2b + c = 0
3. Wendestelle = 1,5 => f''(1.5)=0 ==> 9a + 2b = 0
8a+4b +2c +d=3
3a + 2b + c = 0
9a + 2b = 0 ==> b=-4,5a
8a-18a +2c +d=3
3a -9a + c = 0
-10a + 2c + d = 3
-6a + c =0 ==> c= 6a
-10a +12a + d = 3
d=3 -2a
Also erhält man die Schar:
fa(x) = ax^3 -4,5ax^2 + 6ax + 3 -2a
fa'(x) = 3ax^2 -9ax + 6a
fa''(x) =6ax -9a .
Nun noch die gegebenen Daten prüfen:
fa''(1,5) =0 ✓ klappt für alle a.
fa'''(x) = 6a ≠ 0 für a≠0, aber das
für Grad 3 ja gegeben sein.
Also wirklich Wendestelle bei 1,5.
fa ' (1) = 0 ✓ fa''(1)=-3a ≠0 , also wirklich
Extremstelle bei x=1.
fa(2)=6a+3 . Das ist aber nur gleich 3, wenn a=0.
Also gibt es so eine Funktion 3. Grades nicht.
Kann höchstens mit höherem Grad klappen.