Hallo,
eine mögliche Idee ist die Folgende:
Man "räumt die Intervalle etwas auf", d.h. man macht aus \(I_1,\dots,I_n\) leicht veränderte Intervalle \(J_1,\dots,J_m\) (wobei \(m\leq n\)) mit schöneren Eigenschaften. Dabei soll natürlich die Summe der Längen nicht größer werden und die Schnitte von \([0,1]\) mit den Vereinigungen sollen jeweils gleich sein. Dann zeigt man, dass \(1\leq \sum_{i=1}^m\mathcal l(J_i)\) gilt und ist fertig.
Genauer heißt das: Man kann Intervalle \(J_1,\dots,\,J_m\) mit \(m\leq n\) finden und \(J_1=[0,b_1),\,J_m=(a_m,1],\,J_i=(a_i,\,b_i)\) für \(i=2,\dots,m-1\) sodass$$ 0=a_1\leq b_1\leq\dots\leq a_m\leq b_m=1$$ und $$ \sum_{i=1}^m\mathcal l(J_i)\leq\sum_{i=1}^n\mathcal l(I_i)\tag{*}$$ sowie $$ [0,1]\cap\bigcup_{i=1}^m J_i=[0,1]\cap\bigcup_{i=1}^n I_i$$ gelten.
Das ist etwas nervig aufzuschreiben, deswegen will ich das hier auch nicht machen. Die Idee sollte aber klar sein, warum das geht.
Nun sieht man relativ leicht, dass \(a_{i+1}=b_i\) für \(i=1,\dots,m-1\) gelten muss.
Dann ist \(\sum_{i=1}^m\mathcal l(J_i)=1\) (Teleskopsumme) und nach (*) folgt die Aussage.
LG Dojima
