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Aufgabe:

Sei V ein reeller Vektorraum der Dimension dim V ≥ 2. Eine parameterisierte (affine) Gerade ist
definiert als die Menge Gv,w := {v + tw: t ∈ R) für Vektoren v, w ∈ V mit w ≠ 0. Wir nennen zwei parameterisierte Geraden Gv1,w1, Gv2,w2 parallel,
falls die Geraden nicht (als Mengen) gleich sind und w1, w2 linear abhängig sind.
(a) Seien v, w ∈ V gegeben mit w ≠ 0  . Sei x ∉ Gv,w. Zeigen Sie, dass es genau eine paralle Gerade zu
Gv,w durch den Punkt x gibt.
(b) Unter welcher Annahme an V ist die obige Definition äquivalent dazu, dass sich die beiden Geraden
nicht schneiden? Beweisen Sie Ihre Aussage und geben Sie ein Gegenbeispiel gegen die allgemeine
Aussage.
(c) Sei dim V = 2. Sei < •, • > ein Skalarprodukt auf V . Zeigen Sie, dass es für jede Gerade Gv,w einen
Vektor n ∈ V gibt, sodass Gv,w = {x ∈ V : <x, n >= c}
für eine geeignete Konstante c ∈ R. Wir nennen den Vektor n eine Normale an die Gerade Gv,w.
Zeigen Sie weiterhin, dass zwei Geraden, die nicht als Mengen gleich sind, genau dann parallel
sind, wenn ihre Normalen linear abhängig sind.


Problem/Ansatz:

a) kann ich hier mit dem axiomen in dem affinen raum argumenteieren

Avatar von

Hallo

das musst du genauer sagen: welche

warum nicht einfach de Gerade x+r*w hinschreiben und zeigen dass die eindeutig ist , da  r alle Werte annehmen kann und damit jedes w^* das abhängig von w ist dieselbe Gerade beschreibt.

2 Antworten

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Beste Antwort

Zeigen Sie, dass es genau eine parallele Gerade zu Gv,w durch den Punkt x gibt.

1. "Es gibt eine" : Betrachte  Gx,w := {x + tw: t ∈ R).

 Dann sind Gx,w und Gv,w parallel, weil w und w lin. abhängig sind und

nach Vor. w≠0.  Bleibt zu zeigen, dass die Mengen nicht gleich sind:

Dem ist so, da z.B. x∈Gx,w (für t=0 erkennbar), aber x∉ Gv,w nach Vor.

2. Eindeutigkeit: Sei Gy,u eine (andere) Gerade durch x, die parallel zu Gv,w ist.

Bleibt zu zeigen   Gy,u =  Gx,w  .    #

Vorüberlegung:

Wegen x∈Gy,u gibt es t ∈ R    x = y +  tu. Da u,w lin. abhängig und beide
         nicht 0 sind, gibt es k∈ℝ mit u=k*w. ## 
                  ==>   x = y +  t*k*w         
                    ==>  y=  x - t*k*w      , also  y ∈ Gx,w . ###

 Zum Beweis von #:

Sei  a∈Gy,u . ==>  ∃: t ∈ R a = y + t*u   Wegen ### folgt

                         ∃: t , s ∈ R a = x + s*w + t*u wegen ## also
                                          a = x + s*w + t*k*w= x + (s+t*k)*w

                               ==>   a ∈ Gx,w .

umgekehrt:

Sei a∈Gx,w .  ==>  ∃: t ∈ R a = x + t*w  
                    wegen x∈ Gy,u gibt es s∈ℝ mit
                                             x=y+s*u.

                     Wegen ## und k≠0 gilt auch w=(1/k) * u, also
                                a = y+s*u + (t/k)*u = y + (s+t/k)*u

                                                 ==>  a ∈ Gy,u .        

Also  # gezeigt.   q.e.d.

Avatar von 289 k 🚀
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Zu a)

a) kann ich hier mit dem axiomen in dem affinen raum argumenteieren

Ich denke, dass diese Axiome nicht verwendet werden sollen,
sondern ausschließlich die angegebenen Definitionen der Geraden und
die Regeln des Vektorraums.

Zu b)
mache dir Gedanken über das Phänomen "windschiefe Geraden".

Avatar von 29 k

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