Zeigen Sie, dass es genau eine parallele Gerade zu Gv,w durch den Punkt x gibt.
1. "Es gibt eine" : Betrachte Gx,w := {x + tw: t ∈ R).
Dann sind Gx,w und Gv,w parallel, weil w und w lin. abhängig sind und
nach Vor. w≠0. Bleibt zu zeigen, dass die Mengen nicht gleich sind:
Dem ist so, da z.B. x∈Gx,w (für t=0 erkennbar), aber x∉ Gv,w nach Vor.
2. Eindeutigkeit: Sei Gy,u eine (andere) Gerade durch x, die parallel zu Gv,w ist.
Bleibt zu zeigen Gy,u = Gx,w . #
Vorüberlegung:
Wegen x∈Gy,u gibt es t ∈ R x = y + tu. Da u,w lin. abhängig und beide
nicht 0 sind, gibt es k∈ℝ mit u=k*w. ##
==> x = y + t*k*w
==> y= x - t*k*w , also y ∈ Gx,w . ###
Zum Beweis von #:
Sei a∈Gy,u . ==> ∃: t ∈ R a = y + t*u Wegen ### folgt
∃: t , s ∈ R a = x + s*w + t*u wegen ## also
a = x + s*w + t*k*w= x + (s+t*k)*w
==> a ∈ Gx,w .
umgekehrt:
Sei a∈Gx,w . ==> ∃: t ∈ R a = x + t*w
wegen x∈ Gy,u gibt es s∈ℝ mit
x=y+s*u.
Wegen ## und k≠0 gilt auch w=(1/k) * u, also
a = y+s*u + (t/k)*u = y + (s+t/k)*u
==> a ∈ Gy,u .
Also # gezeigt. q.e.d.