zeige parallele gerade zu affinen gerade durch punkt

Question

Aufgabe:

Sei V ein reeller Vektorraum der Dimension dim V ≥ 2. Eine parameterisierte (affine) Gerade ist
definiert als die Menge G_v,w := {v + tw: t ∈ R) für Vektoren v, w ∈ V mit w ≠ 0. Wir nennen zwei parameterisierte Geraden G_v1,w1, G_v2,w2 parallel,
falls die Geraden nicht (als Mengen) gleich sind und w1, w2 linear abhängig sind.
(a) Seien v, w ∈ V gegeben mit w ≠ 0  . Sei x ∉ G_v,w. Zeigen Sie, dass es genau eine paralle Gerade zu
G_v,w durch den Punkt x gibt.
(b) Unter welcher Annahme an V ist die obige Definition äquivalent dazu, dass sich die beiden Geraden
nicht schneiden? Beweisen Sie Ihre Aussage und geben Sie ein Gegenbeispiel gegen die allgemeine
Aussage.
(c) Sei dim V = 2. Sei < •, • > ein Skalarprodukt auf V . Zeigen Sie, dass es für jede Gerade G_v,w einen
Vektor n ∈ V gibt, sodass G_v,w = {x ∈ V : <x, n >= c}
für eine geeignete Konstante c ∈ R. Wir nennen den Vektor n eine Normale an die Gerade Gv,w.
Zeigen Sie weiterhin, dass zwei Geraden, die nicht als Mengen gleich sind, genau dann parallel
sind, wenn ihre Normalen linear abhängig sind.

Problem/Ansatz:

a) kann ich hier mit dem axiomen in dem affinen raum argumenteieren

Comments

Hallo

das musst du genauer sagen: welche

warum nicht einfach de Gerade x+r*w hinschreiben und zeigen dass die eindeutig ist , da  r alle Werte annehmen kann und damit jedes w^* das abhängig von w ist dieselbe Gerade beschreibt.

Answer 1

Zeigen Sie, dass es genau eine parallele Gerade zu G_v,w durch den Punkt x gibt.

1. "Es gibt eine" : Betrachte  G_x,w := {x + tw: t ∈ R).

 Dann sind G_x,w und G_v,w parallel, weil w und w lin. abhängig sind und

nach Vor. w≠0.  Bleibt zu zeigen, dass die Mengen nicht gleich sind:

Dem ist so, da z.B. x∈G_x,w (für t=0 erkennbar), aber x∉ G_v,w nach Vor.

2. Eindeutigkeit: Sei G_y,u eine (andere) Gerade durch x, die parallel zu G_v,w ist.

Bleibt zu zeigen   G_y,u =  G_x,w  .    #

Vorüberlegung:

Wegen x∈G_y,u gibt es t ∈ R    x = y +  tu. Da u,w lin. abhängig und beide
         nicht 0 sind, gibt es k∈ℝ mit u=k*w. ## 
                  ==>   x = y +  t*k*w         
                    ==>  y=  x - t*k*w      , also  y ∈ G_x,w . ###

 Zum Beweis von #:

Sei  a∈G_y,u . ==>  ∃: t ∈ R a = y + t*u   Wegen ### folgt

                         ∃: t , s ∈ R a = x + s*w + t*u wegen ## also
                                          a = x + s*w + t*k*w= x + (s+t*k)*w

                               ==>   a ∈ G_x,w .

umgekehrt:

Sei a∈Gx,w .  ==>  ∃: t ∈ R a = x + t*w  
                    wegen x∈ G_y,u gibt es s∈ℝ mit
                                             x=y+s*u.

                     Wegen ## und k≠0 gilt auch w=(1/k) * u, also
                                a = y+s*u + (t/k)*u = y + (s+t/k)*u

                                                 ==>  a ∈ G_y,u .        

Also  # gezeigt.   q.e.d.

Answer 2

Zu a)

a) kann ich hier mit dem axiomen in dem affinen raum argumenteieren

Ich denke, dass diese Axiome nicht verwendet werden sollen,
sondern ausschließlich die angegebenen Definitionen der Geraden und
die Regeln des Vektorraums.

Zu b)
mache dir Gedanken über das Phänomen "windschiefe Geraden".