Zeigen Sie: Fur jede auf [ a, b] positive, stetige Funktion ω ist ein skalarprodukt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Fur jede auf [ a, b] positive, stetige Funktion ω ist durch
(f, g) := ∫ ( zwischen a und b) ω(x)f(x)g(x)dx
ein Skalarprodukt auf dem Raum der stetigen reellwertigen Funktionen definiert.

Problem/Ansatz:

Ich weiß das es sich um die orthogonale polynome handelt und das w(x) eine gewichtsfunktion ist. jedoch weid ich nicht wie ich das beweisen soll reicht es wenn ich zeige das die funktion stetig und reellwertig ist und wie mache ich das dann

Answer 1

Zeigen Sie: Fur ... ist durch ... ein Skalarprodukt ... definiert.

Das ist der Kern deiner Aufgabe.

das es sich um die orthogonale polynome handelt

Nein. Es handelt sich allgemeiner um stetige reellwertige Funktionen. Das erkennst du daran, dass in der Aufgabe "Raum der stetigen reellwertigen Funktionen" steht.

reicht es wenn ich zeige das die funktion stetig und reellwertig ist

Welche Funktion meinst du?

Answer 2

1. Zeige die Bilinearität und Symmetrie von <*,*>

2. Zeige die positive Definitheit.

Comments

muss ich das dann für f und g zeigen oder für a und b

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muss ich das dann für f und g zeigen oder für a und b

(*,*) ist eine Bilinearform auf der Menge der stetigen

Funktionen. Damit ist alles klar?