Grenzwert berechnen 2n Potenz

Question

Aufgabe:

Grenzwert berechnen

$$\lim\limits_{x\to\infty}(\frac{3n-2}{3n+1})^{2n}\\ = \lim\limits_{x\to\infty}(\frac{3n+1-3}{3n+1})^{2n}\\ =\lim\limits_{x\to\infty}(1-\frac{3}{3n+1})^{2n}$$

Problem/Ansatz:

Die Aufgabe ist es den Grenzwert zu berechnen, ich versuche irgendwie die Formel so umzustellen, dass ich $$\lim\limits_{x\to\infty}=e^x$$ erhalte.

Ich glaube aber irgendwie das ich ein Fehler schon am Anfang gemacht habe, denn ich sitze seit Stunden dran und komme einfach nicht weiter und finde auch online kaum Sachen die mir helfen oder mich weiterbringen.

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom=\left(\frac{3n\pink{-2}}{3n+1}\right)^{2n}=\left(\frac{3n\pink{+1-3}}{3n+1}\right)^{2n}=\left(1-\frac{3}{3n+1}\right)^{2n}=\left(1-\frac{1}{n+\frac13}\right)^{2n}$$$$=\left[\left(1-\frac{1}{n+\frac13}\right)^n\right]^2=\left[\left(1-\frac{1}{n+\frac13}\right)^{-\frac13}\left(1-\frac{1}{n+\frac13}\right)^{n+\frac13}\right]^2\to\left[1\cdot e^{-1}\right]^2=\frac{1}{e^2}$$

Comments

Wie kommt man so schnell auf das Ergebnis.

Ich will es auch lernen. Ich saß 3 Stunden über der Aufgabe und bin nicht weiter gekommen...

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Mein bester Freund ist Arzt. Er sagt, dass er oft schon am Gang der Patienten erkennt, welches Problem sie haben. So ähnlich ist das hier. Diese Art von "Patient" hier deutet auf irgendeine \(e\)-Funktion hin. Daher versucht man, den Term auf die Form zu bringen, dass der Exponent und der Nenner gleich sind.

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eine unglaublich interessante Weise an das Problem ran zu gehen!

Den Ansatz für Probleme merke ich mir.

Answer 2

\(\lim\limits_{x\to\infty}(1-\frac{3}{3n+1})^{n} = \lim\limits_{x\to\infty}(1-\frac{1}{n+\frac{1}{3}})^{n} = \frac{1}{e} \)

also \(\lim\limits_{x\to\infty}(1-\frac{3}{3n+1})^{2n}  = \frac{1}{e^2} \)