Quadratischen Ergänzung und Substitution, Integral

Question

Aufgabe: Berechne mithilfe einer Quadratischen Ergänzung und Substitution:
f (x) =∫ x^2/2 + 2x + x2 dx
Hinweis 1: Verwenden Sie die Quadratische Ergänzung: x^2 = (x^2 + 2x + 2) − 2(x + 1)

Problem/Ansatz: Ich hätte die Aufgabe anders gelöst, ich verstehe die quadratische Ergänzung nicht ganz.

Comments

Was soll denn das \(x2\) am Ende sein?

Und fehlt da nicht eine Klammer unter dem Integral?

Schreib die Aufgabe bitte mal verständlich hin.

Answer 1

Zu dem x² im Zähler wird einfach 2x+2 hinzuaddiert und wieder subtrahiert.

Dann ist \( \frac{x^2}{x^2+2x+2}= \frac{x^2\red{+2x+2}-\blue{(2x+2)}}{x^2+2x+2}= \frac{x^2\red{+2x+2}}{x^2+2x+2}-\frac{\blue{2x+2}}{x^2+2x+2} \).

Der vordere Bruch lässt sich durch Kürzen zu "1" vereinfachen und kann leicht integriert werden. Der hintere Bruch kann durch Substitution integriert werden (oder man erkennt, dass im Zähler die Ableitung des Nenners steht).

Comments

Woher kommt plötzlich der Bruch?

Worum geht es hier eigentlich?

f(x)  ist doch eine banale Funktion.

Bitte um Aufklärung. Danke.

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Siehst du in

∫ x2/2 + 2x + x2 dx

nicht auch einen kleinen verschämten Bruchstrich?

Ich bin lange genug in Foren unterwegs um zu wissen, das Fragesteller mit kleineren oder größeren mathematischen Problemen von sich aus gar nicht begreifen, dass sie wegen "Punkt vor Strich" den kompletten Nenner (hier 2 + 2x + x^2) in ihren Fragen in Klammern setzen müssen.