Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir haben folgende Zahlen gegeben:$$z_1=2+i\quad;\quad z_2=\frac14+i\,\frac14\quad;\quad z_3=-\frac57$$
zu a) Hier musst du ausrechnen und \((i^2=-1)\) beachten:$$z_1+z_2=(2+i)+\left(\frac14+i\,\frac14\right)=\left(2+\frac14\right)+i\left(1+\frac14\right)=\frac94+i\,\frac54$$$$z_1z_2=(2+i)\cdot\left(\frac14+i\,\frac14\right)=\frac12+i\,\frac14+i\,\frac12+i^2\,\frac14=\left(\frac12-\frac14\right)+i\,\left(\frac14+\frac12\right)=\frac14+i\,\frac34$$$$z_1\overline z_1=(2+i)\cdot(2-i)=2^2-i^2=4+1=5$$$$\frac{z_2}{z_1}=\frac{z_2\overline z_1}{z_1\overline z_1}=\frac{\left(\frac14+i\,\frac14\right)(2-i)}{5}=\frac{(1+i)(2-i)}{20}=\frac{2+2i-i-i^2}{20}=\frac{3+i}{20}=\frac{3}{20}+i\,\frac{1}{20}$$
zu b) Real- und Imaginärteil kannst du an den Zahlen direkt ablesen und sofort feststellen, bei welchen Zahlen der Realteil kleiner oder gleich dem Imaginärteil ist:$$\operatorname{Re}(z_1)=2\;;\;\operatorname{Im}(z_1)=1\quad\implies\quad z_1\not\in M_1$$$$\operatorname{Re}(z_2)=\frac14\;;\;\operatorname{Im}(z_2)=\frac14\quad\implies\quad z_2\in M_1$$$$\operatorname{Re}(z_3)=-\frac57\;;\;\operatorname{Im}(z_3)=0\quad\implies\quad z_3\in M_1$$
Den Betrag einer komplexen Zahl bestimmst du mit Pythagoras:$$\operatorname{Re}(z_1)=2\;;\;\operatorname{Im}(z_1)=1\quad\implies\quad |z_1|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5>1\implies z_1\not\in M_2$$$$\operatorname{Re}(z_2)=\frac14\;;\;\operatorname{Im}(z_2)=\frac14\implies |z_2|=\sqrt{\left(\frac14\right)^2+\left(\frac14\right)^2}=\sqrt{\frac18}<1\implies z_2\in M_2$$$$\operatorname{Re}(z_3)=-\frac57\;;\;\operatorname{Im}(z_3)=0\implies |z_3|=\sqrt{\left(-\frac57\right)^2+0^2}=\frac57<1\implies z_3\in M_2$$
