Zeigen Sie, dass jede Lipschitz-Abbildung auf [a, b] beschränkt ist.

Question

Aufgabe:

Seien f und g zwei Funktionen.

Diese genügen auf dem Intervall [a, b] einer Lipschitz-Bedingung mit
Lipschitz-Konstanten L_f bzw. L_g .
(1) Zeigen Sie, dass jede Lipschitz-Abbildung auf [a, b] beschränkt ist.

Zeigen Sie, dass folgende Abbildungen auf [a, b] ebenfalls einer Lipschitz-
Bedingung genügen:
(a) [a, b] ∋ x → f (x) + g(x),
(b) [a, b] ∋ x → f (x) · g(x).

Könnte jemand helfen?

LG Blackwolf :)

Answer 1

Grundsätzlich ist ja schon jede stetige Abbildung auf einem Intervall [a,b] beschränkt - ist also klar.

Man kann es aber nochmal einfach für den Fall von Lipschitz-Stetigkeit beweisen:

Es sei also

$$\forall x,y \in [a,b]: \quad |f(x)-f(y)| \leq L|x-y|$$

Dann gilt für alles \(x \in [a,b]\):

$$|f(x)|=|f(x)-f(a)+f(a)| \leq |f(x)-f(a)|+|f(a)|$$

$$\leq L|x-a|+|f(a)|\leq L(b-a)+|f(a)|$$

Also ist die rechte Seite eine obere Schranke für die Funktionswerte von f