Was ist ein trivialer Gruppenhomomorphismus und beweise ich das ein Gruppenhomomorphismus trivial ist?

Question

Aufgabe: Was ist ein trivialer Gruppenhomomorphismus und beweise ich das ein Gruppenhomomorphismus trivial ist?

Problem/Ansatz:

Guten Tag,

ich habe dies noch nicht ganz verstanden,

Ich weiß, dass wenn ich zwei Gruppen habe und eine Abbildung ist der Gruppenhomomorphismus gegeben, wenn folgendes gilt:

in Gruppenhomomorphismus f : G ↦ H zwischen zwei Gruppen (G,◦G) und (H,◦H) gilt für alle x, y ∈ G gilt f(x ◦G y) = f(x) ◦H f(y).

und durch Äquivalenzumformungen kann ich dies dann nachweisen.

Ich hoffe, ihr könnt mir dies beantworten.

Answer 1

Ein Gruppenhomomorphismus ist trivial,

wenn er ganz G (konstant) auf das neutrale Element von H

abbildet.

Comments

Es seien (G, ∗G) und (H, ∗H ) Gruppen mit neutralen Elementen eG und eH .

Wenn ich also zeigen soll, dass φ : G → H, a 7 → eH ein Gruppenhomomorphismus ist.

Gehe ich folgendermaßen vor:

Bedingung für den: Gruppenhomomorphismus ist: f(x ◦G y) = f(x) ◦H f(y).

Der Ansatz wäre ja: f(x ◦G y) = f(e_{h ◦G} e_{h) =} e_{h ◦h} e_{h =} f(e_h)◦_H f(e_h), oder?

Gruß und danke für deine Mühen.;)