Zeigen Sie, dass die Relation in der euklidischen Ebene ℝ × ℝ

Question

Aufgabe:

(a) Zeigen Sie, dass die Relation in der euklidischen Ebene \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)

\( \left(x_{1}, y_{1}\right) \sim\left(x_{2}, y_{2}\right) \quad \Longleftrightarrow \quad x_{1}=x_{2} \)

eine Äquivalenzrelation ist, deren Äquivalenzklassen aus allen senkrechten Geraden zur \( x \)-Achse bestehen.

(b) Zeigen Sie, dass

\( a \sim b \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{a-b}{\sqrt{2}} \in \mathbb{Q} \)

auf \( \mathbb{R} \) eine Äquivalenzrelation definiert. Gilt \( \sqrt{2} \sim \sqrt{3} \) ?

Problem/Ansatz:

Bei teil B soll man zeigen dass die Abbildung symmetrisch, reflexiv, transitiv und identitiv ist.

Aber ich habe keine idee wie man das losen kann.

Teil A habe ich teilweise gelöst aber wenn jemand das lösen kann dann wird das sehr nett sein damit ich sehe ob ich das richtig gemacht habe.

Vielen Dank :)

Comments

Willst du zeigen was du bei Teil A gemacht hast. Dann kann ich sagen ob es stimmt.

Answer 1

Zu (b):

1. reflexiv:

\(a\in\mathbb{R}\Rightarrow \frac{a-a}{\sqrt{2}}=0\in \mathbb{Q}\), also \(a\sim a\).

2. symmetrisch:

\(a\sim b\Rightarrow \frac{a-b}{\sqrt{2}}\in \mathbb{Q}\Rightarrow\)

\(\frac{b-a}{\sqrt{2}}=-\frac{a-b}{\sqrt{2}}\in -\mathbb{Q}=\mathbb{Q}\),

also \(b\sim a\)

3. transitiv:

\(a\sim b\;\wedge\; b\sim c\Rightarrow \frac{a-b}{\sqrt{2}}\in \mathbb{Q} \wedge \frac{b-c}{\sqrt{2}}\in\mathbb{Q}\Rightarrow\)

\(\frac{a-c}{\sqrt{2}}=\frac{a-b}{\sqrt{2}}+\frac{b-c}{\sqrt{2}}\in \mathbb{Q}+\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}\),

also \(a\sim c\).

Comments

Hast du auch die a