Für jedes x gilt: x^2=24n+1, dann ist x eine Primzahl

Question

Aufgabe:

Beweise oder widerlege:

Für jedes x∈N gilt: Wenn es ein n∈N gibt mit x^2=24n+1, dann ist x eine Primzahl.

Problem/Ansatz:

Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Hat jemand eine Idee?

Answer 1

x^2 = 24n + 1

25^2 = 24·26 + 1

25 ist aber keine Primzahl. Es wär auch zu schön, wenn ein Primzahltest so einfach wäre.

Comments

Aber muss man nicht von x^2 noch die wurzel ziehen, um auf x zu kommen und das wäre dann 5?! 5 ist ja eine Primzahl.

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bei mir ist x^2 = 25^2 also ist x = 25

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x² ist 625. x ist dann 25. 25 ist keine Primzahl.

(und 625 ist 24*26+1)

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Oh stimmt - ein Denkfehler von mir. Vielen Dank!

Answer 2

Hat jemand eine Idee?

Ja. Gehe die Folge der ungeraden Quadratzahlen durch, bis du ein Gegenbeispiel findest.

Etwas zielgerichteter schreibst du x²=24n+1 um im x²-1=24 bzw. (x-1)(x+1)=24n, und dann suche dir eine Nicht-Primzahl x, deren Vorgänger durch 24 teilbar ist.

Answer 3

\(24n=x^2-1=(x-1)(x+1)\).

Wählt man hier, weil es sich aufdrängt (\(x-1=24\)),

\(x=25\), so ist die Gleichung mit \(n=26\) erfüllt,

aber \(x=25\) ist keine Primzahl.