Ganzrationale Funktionen im Zusammenhang zwischen Oberfläche und Volumen von Körpern

Question

Aufgabe:

Die Oberfläche einer Zeltplane beträgt 200m². Das Volumen soll als Funktion der Höhe h dargestellt werden. Für das volumen gilt: V=2h²l+0,5*2h²l = 3h²l

Für die Oberfläche gilt: Ö=2*2h²+2lh+2h² +2lh√2 O=6h²+2lh(1+√2)

Dies hat zur Fogle: l=(O-6h²)/(2h(1+√2)) l=(100m²-3h²)/(h(1+√2))

Da h und l größer 0 folgt: 100m²-3h² größer 0 (größer soll hier eigentlich das zeichen bedeuten) Aus dieser Ungleichung erhält man die Definitionsmenge für V(h), nämlich h∈ 0m;5,77m (Beides natürlich ausgeschlossen aus dem Intervall).

Überprüfen Sie das:

V(h)=3h²*(100m²-3h²)/(h(1+√2)) = (3/(1+√2))*(100m²h-3h³

V(h)=1,24(100m²h-3h³) h∈ 0m;5,77m


Nun zu meinem Problem:

Kurz vorab, die Angaben für Volumen habe ich der Zeichnung entnommen. Ist aber richtig so, da ich das vom Buch abgeschrieben habe. Ich verstehe als erstes nicht die Aufgabe: Das Volumen soll als Funktion der Höhe h dargestellt werden. Was ist damit gemeint?

Bis zum Auflösen von l komme ich soweit mit, auch wenn ich der Zeichnung nicht entnehmen kann, woher das √2 kommt, aber das ist erstmal egal jetzt. Jetzt mein größtes Problem: Da h und l größer 0 folgt: 100m²-3h² größer 0. Aus dieser Ungleichung erhält man die Definitionsmenge für V(h), nämlich h∈ 0m;5,77m.

Wieso ist das mein Definitionsbereich für V(h) und warum diese Ungleichung überhaupt. Das ist ja der Zähler für den Wert l, wie ich weiter oben erwähnt habe. Und woher weiß ich, dass l und h größer 0 sind. Nächster Punkt, wenn ich jetzt verstanden hätte, dass dies der Definitionsbereich ist, wie komme ich dann auf h∈ 0m;5,77m? Ich habe ja hier zwei Unbekannte und das ist eine quadratische Ungleichung. Wie komme ich dann auf 0 und 5,77?

Answer 1

Das bedeutet es ist eine Vulumenformel aufzustellen in der nur noch h vorkommt.

l = (1 - √2)·(6·h^2 - O)/(2·h)

V = 3·h^2·l

Nun setze ich die erste Gleichung in das Volumen ein und vereinfache das

V = 3·h^2·((1 - √2)·(6·h^2 - O)/(2·h))

V = h·(3/2 - 3·√2/2)·(6·h^2 - O)

mit O = 200 ergibt sich

V = h·(3/2 - 3·√2/2)·(6·h^2 - 200) = 3·h·(1 - √2)·(3·h^2 - 100)

Das kann man jetzt ja mal skizzieren.

 

Für l und h gilt doch >= 0 weil Längen bekanntlich nicht negativ werden können. Kann das Volumen negativ werden auch nicht. Also schau mal auf die Nullstellen. Das sieht doch also alles korrekt aus.

Comments

Und wie kommst du hier auf die Lösung bei l? Ich habe l ja schon von meinem Buch gegeben.

Was hat das l eigentlich für eine Bedeutung? Wieso brauche ich das?


Da h und l größer 0 folgt: 100m²-3h² größer 0. Aus dieser Ungleichung erhält man die Definitionsmenge für V(h), nämlich h∈ 0m;5,77m.

Das verstehe ich noch nicht ganz. Warum Def.menge für Vh und wieso diese Ungleichung? Woher kommt das?

Und wie löse ich diese Ungleichung? Nebenrechnung ist ja erstmal klar, aber ich kann doch nicht mit zwei variablen diese Gleichung lösen, oder?

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Vermutlich ist l die Länge der Zeltstangen oder etwas ähnliches. Das sollte aber eigentlich dabei stehen. Vermutlich ist das ein Zelt mich sechseckiger Grundfläche. Schau mal nach. Normal sollte da doch eine Skizze bei sein oder?

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l ist die Länge, genau! Grundfläche ist ein Rechteck mit Fläche 2h*l

Kannst du mir noch meine anderen Fragen dann erklären?

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Die Definitionsmenge für V ist das was man für h einsetzen darf damit der Ausdruck für V nicht negativ wird. Schau dir jetzt mal die Faktoren an in die V aufgeteilt ist. da hast du dann einmal die klammer

100h-3h³ = h(100 - 3h^2)

Das muss > 0 sein also 

100 - 3h^2 > 0
3h^2 < 100
h < √(100/3) = 5.774

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100h-3h³? Wo hast du das her?

Also in meinem Buch steht:

Da h und l größer 0 folgt: 100m²-3h² größer 0. Aus dieser Ungleichung erhält man die Definitionsmenge für V(h), nämlich h∈ 0m;5,77m

Mich würde interessieren wie ich bei dieser Ungleichung eine Lösung bekomme und vor allem wie du auf deine Gleichung kommst.

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Du hast doch oben in deinem Text stehen:

V(h) = 1,24(100m²h-3h³) 

schmeiß mal die m² fr die Einheit da einfach raus. das verwirrt dann nur. Genau da hab ich dann noch ein positives h ausgeklammert und dann muss das was übrig ist positiv sein. das ist genau der ansatz den ich geschrieben habe.

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Ich habe es verstanden, also die m² darf man einfach weglassen?

Wenn ja finde ich das zudem umständlich in meinem Buch erklärt.

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ja. die m² kommt novh von 2den 200m² die sie eingesetzt haben. der faule mathematiker nimmt eigentlich in gleichungen immer alle einheiten weg und fügt die erst ans endergebnis wieder an.

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Dann ist das schon logisch, ja. Wäre mir jetzt ein Rätsel geblieben, wie man dann auf die 5,77 gekommen wäre mit m und h als Variablen ;)

Ich muss das jetzt nochmal schon üben mit anderen Aufgaben und auch nochmal mit der Gewinn- und Erlösfunktion, wo ich ja gestern schon was hier geschrieben habe.

Wenn ich ein paar Aufgaben gerechnet habe, kann ich die dann mal hier rein stellen und überprüfen lassen?

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ja. also als neue frage dann. das prüft dann bestimmt jemand.

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Gut, danke dir wieder mal! ;)

Sternchen noch vergeben und fertig! :)

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hab noch einen schönen abend. oder schöne nacht.