Question

Wie ist die Ableitung von cos(x) -1? Laut ableitungsrechner = -Sin(x).

Normal würde ich sagen dass es einfach nur sin(x) ist, da die -1 ja wegfällt, allerdings  ist cos(x)-1 ja das selbe wie Sin²(x) und wenn ich Sin²(x) dann bekomm ich -2cos(x)Sin(x).

Ich bin verwirrt. Oder lese ich die Aufgabe falsch denn cos(x)-1 ist meines wissens nicht das selbe wie 1-cos(x) oder nicht ? Das minus ist doch mit der 1 vermunden ??

Answer 1

Hi,

die Ableitung von cos(x) ist -sin(x).

Somit ist auch die Ableitung von cos(x)-1 eben -sin(x).

1 ist nur eine Konstante und fällt bei der Ableitung weg (wie f(x) = 3x+1 und f'(x) = 3).

Es ist übrigens 1-cos^2(x) = sin^2(x) ;).

Grüße

Answer 2

allerdings  ist cos(x)-1 ja das selbe wie Sin²(x)

Nein,

cos ( x ) -1 = sin ² ( x )

hat im Reellen nur die Lösungen x = 2 * π * n  mit n ∈ ℤ,

gilt also nur für  x ∈ { ..., - 4 π, - 2 π, 0 , 2 π, 4 π, ... }

Es gibt eine änhliche gültige Beziehung (die man gern als den "trigonometrischen Pythagoras" bezeichnet), aus der du vermutlich deine Behauptung falsch hergeleitet hast.
Es gilt nämlich:

sin ² ( x ) + cos ² ( x )  = 1

<=> cos ² ( x )  - 1 = - sin ² ( x )

 

Die Funktionen sin ( x ) und cos ( x )  sowie deren Ableitungen hängen wie folgt zusammen:

sin ( x ) ' = cos ( x )

cos ( x ) ' = - sin ( x )

- sin ( x ) ' = - cos ( x )

- cos ( x ) ' = sin x

und daher gilt, um auf deine Frage zurück zu kommen:

[ cos ( x ) - 1 ] '

= cos ( x ) ' - 1 '

= - sin ( x ) - 0

= - sin ( x )