x^2 meint wohl nur x*x. Entsprechend (x ∗ y)^2 = (x ∗ y) ∗ (x ∗ y)
Um zu zeigen, dass die alle äquivalent sind, kannst du so einen
Ringschluss machen 1 ==> 2 ==> 3 ==> ... ==> 1.
Etwa so beginnen:
1 ==> 2 Sei also x ∗ y = y ∗ x.
Und daraus schließen (x ∗ y)^(−1) = x^(−1) ∗ y^(−1).
(x ∗ y)^(−1) ist das Inverse von x ∗ y. Du musst also nur
zeigen, dass es mit (x ∗ y) multipliziert das neutrale El. von G ergibt,
und umgekehrt (x ∗ y) mal (x ∗ y)^(−1) auch.
Behauptet wird, dass dieses Inverse gleich x^(−1) ∗ y^(−1) ist.
Also ist zu prüfen (x ∗ y) ∗ (x^(−1) ∗ y^(−1)) = e und
(x^(−1) ∗ y^(−1)) ∗ (x ∗ y) = e .
Etwa so (x ∗ y) ∗ (x^(−1) ∗ y^(−1)) Vor. x ∗ y = y ∗ x anwenden
= ( y ∗x ) ∗ (x^(−1) ∗ y^(−1)) assoziativ
= y ∗( x ) ∗ x^(−1)) ∗ y^(−1) Def. x^(-1)
= y ∗ e ∗ y^(−1) Def. e
= y ∗ y^(−1) Def. y^(-1)
= e .
Also hat das erste geklappt. Das zweite folgt daraus,
wenn man die Vor. mit (x ∗ y) für x und (x^(−1) ∗ y^(−1)) für y anwendet.
Damit hast du (1) ==> (2) .
Dann weiter mit (2) ==> (3) etc.