Zeigen Sie, dass folgenden Aussagen äquivalent sind.

Question

Sei (G,*) eine Gruppe und x,y∈G. Zeigen Sie, dass folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. x ∗ y = y ∗ x.
2. (x ∗ y)^−1 = x^−1 ∗ y^−1.
3. (x ∗ y^)2 = x^2 ∗ y^2. (Was ist hier mit x^2 gemeint?)
4. (y ∗ x)2 = y^2 ∗ x^2.
5. (x ∗ y)−^2 = y−^2 ∗ x^−2. (Was ist hier mit x^−2 gemeint?)
(Überlege, ob die zu beweisende Aussagen die Form ∀x, y ∈ G : (P(x, y) ⇒ Q(x, y) haben, oder [∀x, y ∈ G : (P(x, y)] ⇒ [∀x, y ∈ G : Q(x, y)].)

Das erste könnte man ja mit vollst. Induktion lösen für alle x,y∈ℕ. Jedoch bin ich mir bei den anderen nicht ganz sicher. Könnte mir jemand helfen?

Answer 1

x^2 meint wohl nur x*x. Entsprechend (x ∗ y)^2 =  (x ∗ y) ∗ (x ∗ y)

Um zu zeigen, dass die alle äquivalent sind, kannst du so einen

Ringschluss machen 1 ==> 2 ==> 3 ==> ...  ==> 1.

Etwa so beginnen:

1 ==> 2 Sei also x ∗ y = y ∗ x.

Und daraus schließen  (x ∗ y)^(−1) = x^(−1) ∗ y^(−1).

(x ∗ y)^(−1) ist das  Inverse von x ∗ y. Du musst also nur

zeigen, dass es mit (x ∗ y) multipliziert das neutrale El. von G ergibt,

und umgekehrt (x ∗ y) mal (x ∗ y)^(−1) auch.

Behauptet wird, dass dieses Inverse gleich x^(−1) ∗ y^(−1) ist.

Also ist zu prüfen (x ∗ y) ∗ (x^(−1) ∗ y^(−1)) = e und

(x^(−1) ∗ y^(−1))  ∗  (x ∗ y) = e .

Etwa so (x ∗ y) ∗ (x^(−1) ∗ y^(−1)) Vor. x ∗ y = y ∗ x anwenden

        =  ( y ∗x ) ∗ (x^(−1) ∗ y^(−1))  assoziativ

                 =   y ∗( x ) ∗ x^(−1)) ∗ y^(−1)  Def. x^(-1)

               =  y ∗ e ∗ y^(−1)      Def. e

                        =  y ∗ y^(−1)     Def. y^(-1)

                       = e  .

Also hat das erste geklappt. Das zweite folgt daraus,

wenn man die Vor. mit   (x ∗ y) für x und (x^(−1) ∗ y^(−1)) für y anwendet.

Damit hast du (1) ==> (2) .

Dann weiter mit (2) ==> (3) etc.

Comments

Funktionieren die einzelnen Implikationen nach denselben Prinzip? Zbsp bei (2) ==> (3), muss man ja einfach auch zeigen, dass das neutrale Element herauskommt oder?