Question

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz oder Divergenz. Geben Sie im Fall der Divergenz an, ob bestimmte Divergenz gegen \( \infty \), bestimmte Divergenz gegen \( -\infty \) oder unbestimmte Divergenz vorliegt:

a) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{3 k^{2}-2}{k^{4}+2 \sqrt{k}} \)

b) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{3 k+2}{2 k^{2}-\sqrt{k}} \)

c) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{3 \sqrt{k}+2}{4 k^{2}-\sqrt{k+2}} \)

Comments

Wie mach ich das mit den Wurzeln?

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Bei a) schätze den Zähler nach oben und den Nenner nach unten wie folgt ab:
Für alle \(k\ge1\) gilt \(0<3k^2-2<3k^2\) und \(k^4+2\sqrt k>k^4\).
Daher ist \(0<\dfrac{3k^2-2}{k^4+2\sqrt k}<\dfrac{3k^2}{k^4}=\dfrac3{k^2}\).
Da die Reihe \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}\) bekanntlich konvergiert, konvergiert auch die ursprüngliche Reihe nach dem Majorantenkriterium.

Answer 1

a) Verwende 3/(2k²) als konvergente Majorante.

b)

Erzeuge unter Zuhilfenahme der harmonischen Reihe eine divergente Minorante

Comments

3/(2k²) ist keine Majorante.