Zeige, dass die Menge aller Extrempunkte die Kreislinie ist.

Question

Aufgabe:

A = {x ∈ ℝ²| ||x||² := x²₁+ x²₂ <= 1}

A ist eine abgeschlossene Einheitskreisscheibe im ℝ².

Zeige, dass die Menge aller Extrempunkte die Kreislinie

B = {x ∈ ℝ²| ||x||² = 1} ist.

Problem/Ansatz:

Wie würde man bei dieser Aufgabe vorgehen? Habe leider gar keinen Plan.

Answer 1

Ich benutze die Aussage

Ein Punkt \( x\in K\) ist genau dann ein Extremalpunkt der konvexen Menge \(K\),
wenn die Restmenge \(K\setminus \{x\}\) ihrerseits eine konvexe Menge ist.

Ist nun \(x\) ein Punkt auf der Kreisperipherie, dann gibt es eine Tangente \(t\)

durch diesen Punkt. Die offene Halbebene, die auf der Seite von \(t\) liegt,

in der die offene Kreisscheibe \(A\backslash B\) liegt, ist konvex.

Ferner ist der Vollkreis \(A\) konvex. Der Durchschnitt zweier konvexer Mengen

ist konvex. Daher ist ihr Durchschnitt \(A\backslash \{x\}\) konvex.

Nach obiger Aussage ist \(x\) ein Extremalpunkt.

Comments

Ich verstehe das mit der offenen Halbebene nicht genau. Wo genau soll die offene Halbebene bei einem Kreis sind?

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Wenn du eine Tangente an den Kreis legst, dann teilt diese

Gerade die Ebene in zwei Halbebenen. Nimmt man die

Tangente selbst heraus, bleiben zwei offene Halbebenen.

Die offene Kreisscheibe muss in einer der beiden offenen

Halbebenen liegen.

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Aber wie teilt die Tangente den Kreis, wenn sie nur an den Kreis gelegt wird? Oder meinst du die Tangente schneidet IM Kreis, sodass zwei Halbebenen entstehen?

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Ich habe gesagt, sie teilt die Ebene, nicht den Kreis. Das wäre
in der Tat Quatsch !

Jede Gerade teilt die Ebene in zwei Halbebenen!

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Ich habe offen gesagt Probleme damit mir das vorzustellen. Ist es quasi so, dass der Kreis auf einer Ebene liegt und t diese teilt?

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Vergiss erst mal den Kreis.

Du hast eine "leere" Ebene, in der nichts weiter ist als eine Gerade. Die Gerade teilt die Ebene in zwei Halbebenen "links von der Gerade" und "rechts von der Gerade".

Und wenn jetzt diese Gerade t die Tangente eines Kreises ist, liegt der Kreis komplett in einer der beiden Halbebenen. Eine Sonderstellung hat der Berührungspunkt. Er liegt auf t (aber nicht in der anderen Halbebene.)

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Ich glaube, du denkst zu kompliziert.

Einfaches Beispiel: betrachte \(x=(0,1)\).

Die Tangente durch diesen Punkt ist \(t=\{(x_1,1):\; x_1\in \mathbb{R}\}\).

Die offene Kreisscheibe liegt in der offenen Halbebene

\(E=\{(x_1,x_2):\; x_2< 1\}\), die unterhalb der Tangente liegt.