Vektorkoordinaten, Skalarprodukt, Koordinatensystem und Vektor bestimmen

Question

Aufgabe:

1) Die x-Achse eines Koordinatensystems zeigt nach Osten, die y-Achse nach Norden und
die z-Achse nach oben.

a) Handelt es sich um ein rechtshändiges oder ein linkshändiges Koordinatensystem?

b) Welche Vektoren entsprechen den folgenden Angaben:

(i) 10 km nach Nordosten und 2 km nach oben,
(ii) 5 m nach Südosten und 5 m nach unten,
(iii) 1 cm nach Nordwesten und 6 cm nach oben.

2) Gegeben sind die Vektoren ⃗a= (2;5;3) ⃗ b =(-1;5;8), ⃗c =(5;0;1)
Berechnen Sie die skalaren Komponenten (Vektorkoordinaten) sowie die Beträge und Richtungswinkel der folgenden Vektoren:

a) ⃗s = 5⃗a − 3(⃗ b + 2⃗c ) + 3(2⃗a − ⃗c )

b) ⃗ t = −3⃗b + 4(⃗a · ⃗c )⃗a − (⃗a − ⃗ b) · (2⃗c + ⃗a )⃗c

Problem/Ansatz:

1) ich denke es handelt ein rechtshändiges koordinatensystem, ich habe die Recht-Hand-Probe gemacht und komme somit auf mein Ergebnis. Bei den nachfolgenden Aufgaben haeb ich Probleme

2) da kommt bei mir bei beiden Aufgaben das falsche Ergebnis herraus und ich weiß nicht warum, hab eig alles richtig gemacht.

Answer 1

1) ich denke es handelt ein rechtshändiges koordinatensystem, ich habe die Recht-Hand-Probe gemacht und komme somit auf mein Ergebnis.  ✓

2) da kommt bei mir bei beiden Aufgaben das falsche Ergebnis heraus und ich weiß nicht warum,

Dann stell doch mal eine Rechnung bzw. ein falsches Erg. hier rein
Vielleicht kann man die Ursache ergründen ???

Bei (i) vielleicht so: 1okm Nordost bedeutet in der xy-Ebene eine Richtung mit akm nach Ost

und a km nach Nord. Pythagoras gibt 2a^2 = 10 , also a=√5.

Der erste Vektor ist also (√5 ; √5; 2) .

Answer 2

Bevor man was zu den Koordinaten sagt, sollte man evtl. die Skalierung festlegen:

1 Skaleneinheit ~ 1 m

A_10kmNO(5000√(2), 5000√(2), 0) + A_2kmhoch(0,0,2000)

B_5mSO(5,-5,0)  + B_5mrunter(0,0,-5)

C_1cmNW(-0.01,0.01,0)+C_6cmhoch(0,0,0.06)

\(s \, :=  \, \left( \begin{array}{rrr}-20 \\ 40 \\ 0 \end{array} \right) \)

wie ist der Richtungswinkel definiert?