Berechnen Sie den Winkel und den Vektor.

Question

Hallo zusammen, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Aufg. 1: Skalarprodukt / Vektorprodukt
Gegeben ist das durch dicke Linien berandete Dreieck, siehe Skizze. Außerdem sind die drei Ecken \( \mathrm{P}, \mathrm{Q} \) und \( \mathrm{R} \) angegeben.

P(0;0;2), Q(2;-1;0), R(1;4;0)

a) Berechnen Sie den Winkel \( \varphi \) in der Ecke P des Dreiecks.
b) Geben Sie (irgend-)einen Vektor an, der senkrecht auf der Dreieckfläche steht.
c) Durch welche Werte muss man die \( z-K o m p o n e n t e \) von Punkt P ersetzen, damit der Winkel \( \varphi \) genau \( 90^{\circ} \) groß ist?
Hinweis: Wählen Sie z.B. \( P=(0 ; 0 ; z) \) und bestimmen \( z \).

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.

Liebe Grüße

Sevi

Answer 1

P(0;0;2), Q(2;-1;0), R(1;4;0)

a) Berechnen Sie den Winkel φ in der Ecke P des Dreiecks.

PQ = Q - P = [2, -1, -2]
PR = R - P = [1, 4, -2]

Winkel

φ = ARCCOS(PQ * PR / (|PQ| * |PR|)) = ARCCOS(2 / (|√9 * √21)) = 81.64°

b) Geben Sie (irgend-)einen Vektor an, der senkrecht auf der Dreieckfläche steht.

PQ x PR = [10, 2, 9]

c) Durch welche Werte muss man die \( z-K o m p o n e n t e \) von Punkt P ersetzen, damit der Winkel \( \varphi \) genau \( 90^{\circ} \) groß ist?Hinweis: Wählen Sie z.B. \( P=(0 ; 0 ; z) \) und bestimmen \( z \).

PQ = Q - P = [2, -1, -z]
PR = R - P = [1, 4, -z]

PQ * PR = 0 --> z = - √2 ∨ z = √2