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Aufgabe:

Injektivität und Surjektivität beweisen von f : R2 → R2, fxy=x+2y,2x−y


Problem/Ansatz

Ich kann es nur mir der invertierbaren Matrix, aber die sollen wir nicht verwenden. Kann mir dabei jemand helfen?

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Aloha :)

Das dir bekannte Verfahren funktioniert auch hier. Schreibe dazu die Abbildung mit Hilfe einer Abbildungsmatrix:$$\binom{x}{y}\to\binom{x+2y}{2x-y}=x\binom{1}{2}+y\binom{2}{-1}=\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\2 & -1\end{array}\right)\binom{x}{y}$$

Die Determinante der Abbildungsmatrix ist \((-5)\), also ungleich \(0\). Damit ist die Abbildung umkehrbar, also insbesondere bijektiv, injektiv und surjektiv.

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