Dreieck parametrisieren: Kompaktere Form gesucht, s.d. Definitionsbereich von Form ablesbar ist

Question

Aufgabe:

Dreieck mit den Koordinaten A=(1,0,0), B=(0,1,0) und C=(0,0,1) parametrisieren

Ansatz:

$$E: \vec p= \begin{pmatrix} 1\\0\\ 0 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 0\\1\\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 0\\0\\ 1 \end{pmatrix} $$

Nun muss \(0\leq t,s \leq 1\)gelten, da sonst die \(x,y\) Werte der Ebene unbeschränkt wären, so dass unendlich viele Punkte nicht mehr Teil des Dreiecks sein würden.

Frage: Wie schaffe ich es, das kompakter zu formulieren? Also die begrenzte Dreiecks-Fläche zu beschreiben, ohne den Definitionsbereich anzugeben. Geht das überhaupt?

Answer 1

Hallo,

Dein Ansatz ist falsch. Allgemein kann man ein Dreieck aus drei Punkten \(A\), \(B\) und \(C\) wie folgt parametrisieren:$$D: \quad \vec p = A + s(B-A) + t(C-A) \quad 0 \le s,t \land s+t \le 1$$ Also in Deinem konkretem Fall $$D:\quad \vec p = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} +  s\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0\end{pmatrix} +  t\begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$$Im Bild sieht das so aus:

Genauso gut könnte man aber auch schreiben:$$D: \quad \vec p = rA+sB+tC \quad 0 \le r,s,t \land r+s+t =1 $$was unmitelbar aus der obigen Parametrisierung folgt.

Gruß Werner

Comments

Die einfache Abhängigkeit der Parameter über die Summe funktioniert meines Erachtens nicht. In dem einen Fall wäre es quasi nur ein Parameter, was keine Flächenbeschreibung ergibt im anderen Fall hat es quasi 2 Parameter, was ein Parallelogramm ergibt: Mit dem CAS meines Vertrauens:

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Die einfache Abhängigkeit der Parameter über die Summe funktioniert meines Erachtens nicht. In dem einen Fall wäre es quasi nur ein Parameter, was keine Flächenbeschreibung ergibt.

Ich habe im ersten Fall nicht geschreiben, dass \(s+t=1\) ist, sondern, dass \(s+t {\color{red}\le} 1\) sein soll (s.o.). Und das gibt dann sehr wohl eine Fläche. Mit z.B. \(s=1/3\), \(t=1/3\) befindet man sich mitten im Dreieck.

Und das CAS Deines Vertrauens muss das Tripel \((r,s,t)\) schon auf den Wert$$(r,s,t) = (1,1,{\color{red}-1})$$setzen, um auf die im Bild untere Ecke des Parallelogramms zu kommen. Das ist aber über die Einschränkung des Definitionsbereichs auf$$\mathbb D = \{(r,s,t) \in \mathbb R^3:\space {\color{red}0 \le r,s,t} \land r+s+t = 1\}$$ausgeschlossen

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Hm,

stimmt - dann kann das letzt genannte CAS diese Beschreibung nicht darstellen...

Answer 2

Das funktioniert so gar net, Du hast

gemeint hast Du aber

\(E(r, s) \, :=  \, \left(1, 0, 0 \right)^T + r \; \left(\left(0, 1, 0 \right) - \left(1, 0, 0 \right) \right)^T + s \; \left(\left(0, 0, 1 \right) - \left(1, 0, 0 \right) \right)^T \)

was aber auch net passt

Ach, das Bild dazu:

Comments

Auf vielfach nicht geäußerten Wunsch des Posters und ein Diskussionsbeispiel für Werner