Aus Äquivalenzrelation eine Abbildung

Question

Hallo Leute,

Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter. Ich muss beweisen:

Ist \( \sim \) eine beliebige Äquivalenzrelation auf \( A \) und ist \( C=\{\llbracket a \rrbracket \sim \mid a \in A\} \) die Menge der Äquivalenzklassen von \( \sim \), so gibt es eine Abbildung \( p: A \longrightarrow C \), so dass für alle \( a_{1}, a_{2} \in A \) :
\( a_{1} \sim a_{2} \Longleftrightarrow p\left(a_{1}\right)=p\left(a_{2}\right) \)

Answer 1

Die Abbildung ist

        \(p:A\to C,\ a \mapsto [a]_\sim\).

Zeige dass es sich tatsächlich um eine Abbildung handelt und dass sie die geforderte Eigenschaft hat.

Comments

Das heißt ich muss zeigen, dass für jedes a \( \in \) A ein Element in C gibt.

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Ich habe noch mal genauer darüber nachgedacht. Das \(p\) ist auf jeden Fall eine Abildung, weil die ja zu jedem \(a\in A\) das passende \([a]_\sim\in C\) bestimmen kannst.

Du musst deshalb nur noch zeigen, dass \(p\) die Eigenschaft

      \( a_{1} \sim a_{2} \iff p\left(a_{1}\right)=p\left(a_{2}\right) \)

für alle \(a_1,a_2\in A\) erfüllt.

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Das heißt ich setze a1 in p ein und schau was da raus kommt und gleich auch für a2.

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Dann bekommst du \([a_1]_\sim\) und \([a_2]_\sim\) raus. Letztendlich musst du also zeigen, dass

        \( a_{1} \sim a_{2} \iff [a_1]_\sim = [a_2]_\sim\)

für alle \(a_1,a_2\in A\) ist.