Aufgabe:
Beweisen Sie:
a) $$\text{Ist}X \subseteq \mathbb{Z} \text{ eine Untergruppe, so gibt es ein }l\in \mathbb{N_0} \text{ mit }X = \mathbb{Z}*l$$
$$\text{Hinweis: Falls X}\supsetneq \{ 0\} \text{ , so wählen Sie }l:= min (X\cap\mathbb{N})$$
b) $$\text{ für m,n } \in \mathbb{Z}\text{ ist X(m,n):=}\text{\{{an+bm}}\mid a,b \in \mathbb{Z}\}\text{ eine Untergruppe von } \mathbb{Z}\text{ , die sowohl } \mathbb{Z} \text{ als auch } \mathbb{Z}*l \text{ enthält}$$
$$ \text{Sei nun p eine Primzahl und } n \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{Z}*p$$
c) $$\text {Zeigen Sie,dass }X(p,n) = \mathbb{Z}$$
$$\text{ Hinweis: Benutzen sie a und b, um ein l } \in \mathbb{N_0} \text{ mit X(p,n) }= \mathbb{Z}*l \text{ zu finden. Folgern Sie dann mit Hilfe von b, dass l ein Teiler von p und n ist. }$$
d) $$\text{Folgern Sie aus c, dass }a,b \in \mathbb{Z}\text{ existieren mit ap+bn=1}$$
$$\text{ (Mit Hilfe dieser Eigenschaft lässt sich zeigen, dass für eine Primzahl p gilt: Für a,b} \in \mathbb{Z} \text{ folgt aus p} \mid ab\text{, dass } p\mid a\text{ oder } p\mid b)$$
Bin sehr dankbar für Hilfestellungen und Tipps!
